Номер 7.3, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.3. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $AB$, используя данные рисунков 219, а), б).

а) $A$, $B$, $C$, $O$, $12$, $8$

б) $A$, $B$, $C$, $O$, $4$

Рис. 219

а)

На рисунке изображена окружность с центром в точке $O$. $AB$ — это хорда данной окружности, длина которой, согласно данным, составляет 12. $OC$ — это радиус окружности, и его длина равна 8. Задача состоит в том, чтобы найти расстояние от центра $O$ до прямой $AB$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем перпендикуляр $OH$ из центра $O$ к хорде $AB$. Длина отрезка $OH$ и является искомым расстоянием.

По свойству окружности, радиус (или его часть), перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ — середина хорды $AB$. Мы можем найти длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Он является прямоугольным, так как $OH \perp AB$. Сторона $OA$ является радиусом окружности. Поскольку $OC$ — радиус и $OC = 8$, то $OA = 8$. Сторона $AH$ является катетом, и ее длина равна 6. Сторона $OH$ — второй катет, который нам нужно найти.

Применим к треугольнику $\triangle OHA$ теорему Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.

Подставим известные значения в уравнение:
$8^2 = OH^2 + 6^2$
$64 = OH^2 + 36$

Выразим $OH^2$:
$OH^2 = 64 - 36 = 28$

Теперь найдем длину $OH$:
$OH = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$.

б)

На данном рисунке представлен треугольник $ABC$ и точка $O$, расположенная внутри него.

Из обозначений на рисунке следует, что отрезок $CO$ делит угол $\angle ACB$ на два равных угла ($\angle ACO = \angle BCO$), то есть является его биссектрисой. Аналогично, отрезок $BO$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла ($\angle ABO = \angle CBO$), то есть является его биссектрисой.

Точка $O$ — это точка пересечения двух биссектрис треугольника $ABC$. Следовательно, точка $O$ является центром вписанной в этот треугольник окружности (инцентром).

Ключевое свойство центра вписанной окружности заключается в том, что он равноудален от всех сторон треугольника. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности.

На рисунке показан перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на сторону $AC$. Его длина указана и равна 4. Это и есть расстояние от точки $O$ до стороны $AC$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника, то расстояние от $O$ до прямой $AB$ равно расстоянию от $O$ до прямой $AC$.

Таким образом, искомое расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ также равно 4.

Ответ: 4.