Номер 6.6, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.6. а) В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная к гипотенузе, делит ее в отношении $2 : 3$. В каком отношении делит гипотенузу высота треугольника?

б) Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отношении $4 : 25$. В каком отношении делит гипотенузу биссектриса прямого угла треугольника?

а) Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны $AC = b$ и $BC = a$. Гипотенуза равна $AB = c$.
Пусть $CL$ — биссектриса прямого угла $C$, а $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Точки $L$ и $H$ лежат на гипотенузе $AB$.
По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (гипотенузу) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (катетам):
$\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
По условию задачи, биссектриса делит гипотенузу в отношении $2:3$. Это означает, что отношение катетов также равно $2:3$. Пусть $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$.
Теперь рассмотрим, в каком отношении делит гипотенузу высота $CH$. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки $AH$ и $HB$. Эти отрезки являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
$AC^2 = AH \cdot AB \Rightarrow b^2 = AH \cdot c$
$BC^2 = HB \cdot AB \Rightarrow a^2 = HB \cdot c$
Чтобы найти отношение отрезков $AH$ и $HB$, разделим первое уравнение на второе:
$\frac{AH}{HB} = \frac{b^2/c}{a^2/c} = \frac{b^2}{a^2} = (\frac{b}{a})^2$
Так как мы нашли, что $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$, то искомое отношение равно:
$\frac{AH}{HB} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
Следовательно, высота делит гипотенузу в отношении $4:9$.
Ответ: $4:9$.

б) Эта задача является обратной к предыдущей. Используем те же обозначения: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетами $a$ и $b$, высотой $CH$ и биссектрисой $CL$.
Высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AH$ и $HB$. По условию, это отношение равно $4:25$.
$\frac{AH}{HB} = \frac{4}{25}$
Как было показано в пункте а), отношение проекций катетов на гипотенузу равно отношению квадратов самих катетов:
$\frac{AH}{HB} = \frac{b^2}{a^2}$
Следовательно, мы можем найти отношение катетов:
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{4}{25} \Rightarrow \frac{b}{a} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$
Теперь найдем, в каком отношении делит гипотенузу биссектриса $CL$. По свойству биссектрисы, она делит гипотенузу на отрезки $AL$ и $LB$, пропорциональные прилежащим катетам:
$\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$
Подставляя найденное значение отношения катетов, получаем:
$\frac{AL}{LB} = \frac{2}{5}$
Следовательно, биссектриса делит гипотенузу в отношении $2:5$.
Ответ: $2:5$.