Номер 6.5, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.5. а) В прямоугольном треугольнике $MPK$ $MT$ — высота к гипотенузе, $PT = x$, $TK = y$. Найдите площадь треугольника $PTE$, где точка $E$ — середина катета $MP$.

б) $BD$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$, $AD = m$, $BD = p$. Найдите площадь треугольника $BDK$, где $DK$ — медиана треугольника $DBC$.

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MPK$. Исходя из условия, что $MT$ — высота к гипотенузе $PK$, можно сделать вывод, что прямой угол треугольника находится при вершине $M$.

1. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой: $MT^2 = PT \cdot TK$.

По условию задачи $PT = x$ и $TK = y$. Подставим эти значения в формулу:

$MT^2 = x \cdot y \implies MT = \sqrt{xy}$.

2. Для нахождения площади треугольника $PTE$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. Возьмем за основание сторону $PT$.

Длина основания $PT = x$.

3. Высотой к основанию $PT$ будет перпендикуляр, опущенный из вершины $E$ на прямую $PK$. Обозначим эту высоту $EH$, где $H$ — основание перпендикуляра на прямой $PK$.

4. Рассмотрим треугольник $MPT$. Так как $MT \perp PK$, то $\angle MTP = 90^\circ$, и $\triangle MPT$ является прямоугольным. В этом треугольнике $MP$ — гипотенуза, а $MT$ и $PT$ — катеты.

5. По условию, точка $E$ — середина катета $MP$ исходного треугольника $MPK$, который является гипотенузой для $\triangle MPT$. В $\triangle MPT$ проведем высоту $EH$ к катету $PT$. Так как $EH \perp PT$ и $MT \perp PT$, то $EH \parallel MT$.

6. Поскольку $E$ — середина стороны $MP$ и $EH \parallel MT$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle PEH$ и $\triangle PMT$) следует, что $\frac{EH}{MT} = \frac{PE}{PM} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим длину высоты $EH$:

$EH = \frac{1}{2} MT = \frac{1}{2}\sqrt{xy}$.

7. Теперь мы можем вычислить площадь треугольника $PTE$:

$S_{PTE} = \frac{1}{2} \cdot PT \cdot EH = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{xy}}{2} = \frac{x\sqrt{xy}}{4}$.

Ответ: $S_{PTE} = \frac{x\sqrt{xy}}{4}$.

б)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Из условия, что $BD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AC$, следует, что прямой угол треугольника находится при вершине $B$.

1. Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Для треугольника $ABC$ это означает: $BD^2 = AD \cdot DC$.

По условию $AD = m$ и $BD = p$. Подставим эти значения:

$p^2 = m \cdot DC$.

Отсюда выразим длину отрезка $DC$:

$DC = \frac{p^2}{m}$.

2. Рассмотрим треугольник $DBC$. Так как $BD \perp AC$, то угол $\angle BDC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $DBC$ является прямоугольным с катетами $BD$ и $DC$.

3. Площадь прямоугольного треугольника $DBC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot p \cdot \frac{p^2}{m} = \frac{p^3}{2m}$.

4. По условию, $DK$ является медианой треугольника $DBC$. По определению, медиана соединяет вершину треугольника (в данном случае $D$) с серединой противоположной стороны ($BC$). Значит, точка $K$ — середина стороны $BC$.

5. Важное свойство медианы заключается в том, что она делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих). Таким образом, медиана $DK$ делит $\triangle DBC$ на два треугольника — $\triangle BDK$ и $\triangle CDK$ — с одинаковой площадью.

$S_{BDK} = S_{CDK} = \frac{1}{2} S_{DBC}$.

6. Чтобы найти площадь треугольника $BDK$, разделим площадь треугольника $DBC$ пополам:

$S_{BDK} = \frac{1}{2} \cdot S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{p^3}{2m} = \frac{p^3}{4m}$.

Ответ: $S_{BDK} = \frac{p^3}{4m}$.