Номер 5.10, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

Рис. 210

5.10. а) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, изображенного на рисунке 211, если $AC = 6$, $BD = 10$, $\alpha = 120^{\circ}$.

б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, изображенного на рисунке 212, если $AC = 4$, $BD = 6$, $\cos\beta = -0,8$.

Рис. 211

Рис. 212

а) Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, связывающей длины его диагоналей и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\gamma$ — угол между ними. По условию задачи, даны длины диагоналей четырехугольника $ABCD$: $AC = 6$ и $BD = 10$. Угол между ними $\alpha = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ)$. Для вычисления значения $\sin(120^\circ)$ воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь можем рассчитать площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$.
Ответ: $15\sqrt{3}$.

б) Для решения этой задачи также используем формулу площади четырехугольника через его диагонали: $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\gamma$. Из условия известны длины диагоналей $AC = 4$ и $BD = 6$, а также косинус угла $\beta$ между ними: $\cos\beta = -0,8$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить синус угла $\beta$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$. Выразим из него синус: $\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta$. Подставим известное значение косинуса: $\sin^2\beta = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$. Поскольку угол $\beta$ в четырехугольнике (угол между диагоналями) может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$, его синус всегда положителен или равен нулю. Следовательно, мы берем положительное значение корня: $\sin\beta = \sqrt{0,36} = 0,6$. Теперь вычислим площадь четырехугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,6 = 12 \cdot 0,6 = 7,2$.
Ответ: $7,2$.