Номер 5.8, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.8. а) Найдите площадь прямоугольника, у которого диагональ равна $4\sqrt{2}$ см, а угол между диагоналями равен $45^{\circ}$.

б) Площадь прямоугольника равна $4\sqrt{2}$ см$^2$. Найдите диагональ прямоугольника, если угол между диагоналями равен $45^{\circ}$.

а)

Для нахождения площади прямоугольника можно использовать формулу площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $d_1 = d_2 = d$. Формула упрощается до $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

По условию задачи, диагональ $d = 4\sqrt{2}$ см, а угол между диагоналями $\alpha = 45^\circ$.

Значение синуса $45^\circ$ составляет $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2})^2 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см².

Ответ: $8\sqrt{2}$ см².

б)

Снова используем формулу площади прямоугольника через его диагональ и угол между диагоналями: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

В этом случае нам известны площадь $S = 4\sqrt{2}$ см² и угол $\alpha = 45^\circ$. Наша задача — найти длину диагонали $d$.

Выразим $d^2$ из формулы:

$d^2 = \frac{2S}{\sin\alpha}$.

Подставим известные значения ($S = 4\sqrt{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$):

$d^2 = \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Для упрощения дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$d^2 = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \cdot 2 = 16$.

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.