Номер 5.4, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.4. а) Углы параллелограмма относятся как 1 : 5, а его стороны — как 5 : 9. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 56 см.

б) Один угол параллелограмма на $90^\circ$ больше другого, площадь параллелограмма равна $4\sqrt{2}$ см$^2$. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон на 2 см больше другой.

а)

1. Найдем углы параллелограмма. Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$. Пусть углы относятся как $1:5$, то есть их величины равны $x$ и $5x$. Составим уравнение:

$x + 5x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = 30^\circ$

Следовательно, острый угол параллелограмма равен $30^\circ$, а тупой — $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. Для вычисления площади будем использовать острый угол.

2. Найдем стороны параллелограмма. Пусть стороны относятся как $5:9$, то есть их длины равны $5k$ и $9k$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.

По условию, периметр равен 56 см. Подставим наши значения:

$2(5k + 9k) = 56$

$2(14k) = 56$

$28k = 56$

$k = 2$

Теперь найдем длины сторон:

меньшая сторона $a = 5k = 5 \cdot 2 = 10$ см

большая сторона $b = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см

3. Найдем площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Подставим известные значения:

$S = 10 \cdot 18 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = 180 \cdot \frac{1}{2} = 90$ см².

Ответ: $90$ см².

б)

1. Найдем углы параллелограмма. Пусть один угол равен $\alpha$, тогда другой, смежный с ним, по условию равен $\alpha + 90^\circ$. Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$.

$\alpha + (\alpha + 90^\circ) = 180^\circ$

$2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 45^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма равны $45^\circ$ и $45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$. Для дальнейших расчетов используем острый угол $45^\circ$.

2. Найдем стороны параллелограмма. Пусть одна сторона равна $a$ см, тогда другая, которая на 2 см больше, равна $(a+2)$ см. Площадь параллелограмма равна $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения: $S = 4\sqrt{2}$ см², $b = a+2$, $\alpha = 45^\circ$.

$4\sqrt{2} = a \cdot (a+2) \cdot \sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$4\sqrt{2} = a(a+2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \neq 0$):

$4 = \frac{a(a+2)}{2}$

Умножим обе части на 2:

$8 = a(a+2)$

$a^2 + 2a = 8$

$a^2 + 2a - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма -2. Корнями являются $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, $a = 2$ см. Тогда вторая сторона равна $a+2 = 2+2 = 4$ см.

3. Найдем периметр параллелограмма. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

$P = 2(2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.