Номер 5.1, страница 130 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.1. Найдите площадь треугольника ABC, используя данные рисунков 208, а)—з).

а) Данные для треугольника ABC: $AB = 2$, $AC = 3\sqrt{3}$, $\angle A = 60^\circ$.

б) Данные для треугольника ABC: $AB = 4$, $AC = 3\sqrt{2}$, $\angle A = 135^\circ$.

в) Данные для треугольника ABC: $AB = 4$, $AC = 4$, $\angle A = 75^\circ$.

г) Данные для треугольника ABC: $AB = 2$, $AC = 6$, $\angle A = 30^\circ$.

д) $ \angle ABD = 45^\circ $. Данные для треугольника ABC (из рисунка ABD): $AB = 2\sqrt{2}$. AC = CD.

е) $ \angle MAN = 120^\circ $. Данные для треугольника ABC (из рисунка AMN): $AM = 2$, $AN = 2\sqrt{3}$. Точки M, B, C, N лежат на одной прямой; $MB = BC = CN$.

ж) Данные для треугольника ABC (из рисунка с точкой K): $AB = \sqrt{3}$, $BK = 1$, $\angle ABK = 60^\circ$. AK = KC.

з) $ \sin \angle ABD = \frac{3}{8} $. Данные для четырехугольника ABDE (из рисунка): $AB = 3$, $BD = 8$. Точка C - пересечение диагоналей AD и BE; AC = CD, BC = CE.

Рис. 208

а) Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. В данном случае нам известны стороны $AB = 2$, $AC = 3\sqrt{3}$ и угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Подставим значения в формулу: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$. Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABC} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

б) Используем ту же формулу для площади треугольника. Дано: $AB = 4$, $AC = 3\sqrt{2}$ и $\angle A = 135^\circ$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)$. Так как $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6.

в) Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как по отметкам на сторонах $AB = BC = 4$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle C = \angle A = 75^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, значит $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Теперь мы можем найти площадь, используя стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle B$ между ними: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)$. Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Ответ: 4.

г) Для нахождения площади треугольника $ABC$ используем данные из рисунка: сторона $AB = 2$, сторона $AC = 6$ и угол между ними $\angle BAC = 30^\circ$. Применяем формулу площади треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $S_{ABC} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
Ответ: 3.

д) Из условия, что $\angle ABD = 45^\circ$ и $AB=AD$ (согласно отметкам на сторонах), следует, что треугольник $ABD$ равнобедренный. Значит, $\angle ADB = \angle ABD = 45^\circ$, а угол $\angle BAD = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Точка $C$ является серединой стороны $AD$ (согласно отметкам), следовательно, отрезок $BC$ является медианой треугольника $ABD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (равных по площади). Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABD}$. Найдем площадь прямоугольного треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD$. Нам дано $AB = 2\sqrt{2}$, и так как $AB=AD$, то $AD = 2\sqrt{2}$. $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Ответ: 2.

е) Сначала найдем площадь большего треугольника $MAN$. Используя данные $AM=2$, $AN=2\sqrt{3}$ и $\angle MAN = 120^\circ$: $S_{MAN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle MAN) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)$. Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $S_{MAN} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$. Точки $B$ и $C$ делят сторону $MN$ на три равные части: $MB=BC=CN$. Треугольники $AMB$, $ABC$ и $ACN$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $MN$. Поскольку их основания равны, их площади также равны: $S_{AMB} = S_{ABC} = S_{ACN}$. Следовательно, $S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{MAN} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.
Ответ: 1.

ж) Из рисунка следует, что точка $K$ является серединой стороны $AC$ (по отметкам $AK=KC$). Это означает, что $BK$ — медиана треугольника $ABC$. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, поэтому $S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABK}$. Найдем площадь треугольника $ABK$, используя данные $AB=\sqrt{3}$, $BK=1$ и угол между ними $\angle ABK=60^\circ$: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK \cdot \sin(\angle ABK) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ)$. Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABK} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

з) Фигура $ABDE$ — параллелограмм, а $C$ — точка пересечения его диагоналей $AD$ и $BE$. В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит, $C$ — середина диагонали $AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $BC$ соединяет вершину $B$ с серединой $C$ противоположной стороны $AD$, следовательно, $BC$ является медианой треугольника $ABD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABD}$. Найдем площадь треугольника $ABD$ по двум сторонам $AB=3$, $BD=8$ и синусу угла между ними $\sin(\angle ABD)=\frac{3}{8}$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$. Таким образом, площадь искомого треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 4,5 = 2,25$.
Ответ: 2,25.