Номер 5.12, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.12. Диагонали трапеции равны $n$ и $m$ и составляют с одним из оснований углы $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что площадь трапеции равна $0.5mn\sin(\alpha + \beta)$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, ее диагонали равны $n$ и $m$, пусть $AC=n$ и $BD=m$. Диагонали составляют с одним из оснований (для определенности, с основанием $AD$) углы $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, $\angle CAD = \alpha$ и $\angle BDA = \beta$.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых ($BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на продолжении $AD$). Стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ является параллелограммом. Из этого следует, что длины противоположных сторон равны: $CE = BD = m$ и $BC = DE$.

Докажем, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$. Площадь треугольника $ACE$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle CDE$: $S_{\triangle ACE} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle CDE}$.

Сравним площади треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$. Они равновелики (имеют равные площади), так как у них равны основания ($BC=DE$) и у них общая высота (расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AE$). Таким образом, $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDE}$, а значит и $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$.

Теперь задача сводится к вычислению площади треугольника $ACE$. В треугольнике $ACE$ нам известны длины двух сторон: $AC = n$ (по условию) и $CE = m$ (по построению, так как $CE=BD$). Найдем угол между этими сторонами, то есть $\angle ACE$. Для этого сначала определим два других угла треугольника $ACE$:

• Угол $\angle CAE$ совпадает с углом $\angle CAD$, следовательно, $\angle CAE = \alpha$.
• Так как $CE \parallel BD$, а $AE$ — секущая, то углы $\angle CEA$ и $\angle BDA$ равны как соответственные. Следовательно, $\angle CEA = \angle BDA = \beta$.

Зная два угла треугольника, найдем третий по теореме о сумме углов треугольника:$\angle ACE = 180^\circ - (\angle CAE + \angle CEA) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Площадь треугольника можно найти по формуле половины произведения двух его сторон на синус угла между ними:$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE \cdot \sin(\angle ACE)$Подставляя известные значения, получаем:$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} n m \sin(180^\circ - (\alpha + \beta))$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, окончательно получаем:$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} mn \sin(\alpha + \beta)$

Так как ранее мы доказали, что $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$, то площадь трапеции равна:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} mn \sin(\alpha + \beta) = 0,5mn\sin(\alpha + \beta)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь трапеции, диагонали которой равны $m$ и $n$ и составляют с основанием углы $\alpha$ и $\beta$, действительно равна $0,5mn\sin(\alpha + \beta)$.