Номер 7.2, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.2. Используя данные рисунков 218, а), б), найдите угол $\alpha$.

а) $OA = OB = OC$

б) Рис. 218

a)
Рассмотрим рисунок 218 а). На нем изображена окружность с точками A, B, C, D на ней. Искомый угол $\alpha = \angle ABD$.
1. Согласно обозначению на рисунке, угол $\angle BCD$ является прямым, то есть $\angle BCD = 90^\circ$.
2. Угол $\angle BCD$ — вписанный в окружность. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр. Следовательно, хорда BD, на которую он опирается, является диаметром окружности.
3. Дуга, на которую опирается вписанный угол $\angle BCD$, — это дуга BAD. Ее градусная мера в два раза больше угла, то есть $\cup BAD = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.
4. На хордах BC и CD стоят одинаковые (двойные) штрихи, что означает их равенство: $BC = CD$.
5. Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому $\cup BC = \cup CD$.
6. Дуги BAD и BCD вместе составляют полную окружность ($360^\circ$). Так как $\cup BAD = 180^\circ$, то и $\cup BCD = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.
7. Поскольку $\cup BCD = \cup BC + \cup CD = 180^\circ$ и $\cup BC = \cup CD$, то каждая из этих дуг равна $180^\circ / 2 = 90^\circ$.
8. На хорде AB стоит одинарный штрих. В таких задачах это часто означает, что длина хорды равна радиусу окружности ($R$). Примем $AB = R$.
9. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$ как радиусы окружности. Если $AB = R$, то треугольник $\triangle AOB$ — равносторонний.
10. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу AB, в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги AB также равна $60^\circ$ ($\cup AB = 60^\circ$).
11. Искомый угол $\alpha = \angle ABD$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\alpha = \frac{1}{2} \cup AD$.
12. Дугу AD можно найти как разность дуг BAD и AB: $\cup AD = \cup BAD - \cup AB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
13. Теперь находим угол $\alpha$: $\alpha = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $\alpha = 60^\circ$.

б)
Рассмотрим рисунок 218 б). На нем изображен треугольник ABC и точка O внутри него.
1. На сторонах AB и BC стоят одинаковые (двойные) штрихи, что означает $AB = BC$. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным, а углы при его основании AC равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
2. Из точки O опущены перпендикуляры на стороны треугольника: $OP \perp AB$, $OM \perp AC$, $ON \perp BC$ (на это указывают символы прямого угла).
3. На этих перпендикулярах (отрезках OP, OM и ON) стоят одинаковые (одинарные) штрихи, что означает их равенство: $OP = OM = ON$.
4. Точка внутри треугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной окружности (инцентром). Таким образом, O — инцентр треугольника ABC.
5. Отрезки AO, BO и CO, соединяющие инцентр с вершинами, являются биссектрисами углов треугольника.
6. По условию, $\angle OCB = 20^\circ$.
7. Так как CO — биссектриса угла $\angle BCA$, она делит его на два равных угла: $\angle OCA = \angle OCB$. Значит, $\angle OCA = 20^\circ$.
8. Полный угол при вершине C равен сумме его частей: $\angle BCA = \angle OCB + \angle OCA = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ$.
9. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то $\angle BAC = \angle BCA = 40^\circ$.
10. Искомый угол — это $\alpha = \angle OAC$. Так как AO — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его пополам.
11. Следовательно, $\alpha = \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.
Ответ: $\alpha = 20^\circ$.