Номер 7.6, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.6. a) $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Используя данные рисунка 224, найдите радиус окружности и сторону $BC$ треугольника.

б) $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Используя данные рисунка 225, найдите расстояние от центра окружности до стороны $AB$ треугольника и радиус окружности.

Рис. 223

Рис. 224

Рис. 225

а)

Согласно данным на рисунке 224, нам дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром $O$. Точка $M$ лежит на окружности. Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BMC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, следовательно, они равны. Из рисунка мы видим, что $\angle BMC = 60^\circ$, значит, и $\angle BAC = 60^\circ$.

Центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на ту же дугу $BC$, в два раза больше вписанного угла $\angle BAC$. $$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $$

Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Так как $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности, $OB = OC = R$, где $R$ — искомый радиус. Следовательно, $\triangle BOC$ является равнобедренным.

Отрезок $OK$ является высотой, проведенной из вершины $O$ к основанию $BC$ (так как по условию $OK \perp BC$). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой.

Как биссектриса, $OK$ делит угол $\angle BOC$ пополам: $$ \angle BOK = \angle COK = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKB$ (угол $\angle OKB = 90^\circ$). Нам известна длина катета $OK = 4$ и угол $\angle BOK = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $OB=R$ и катет $BK$. $$ \cos(\angle BOK) = \frac{OK}{OB} \implies \cos(60^\circ) = \frac{4}{R} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{4}{R} \implies R = 8 $$

Теперь найдем $BK$: $$ \tan(\angle BOK) = \frac{BK}{OK} \implies \tan(60^\circ) = \frac{BK}{4} $$ $$ \sqrt{3} = \frac{BK}{4} \implies BK = 4\sqrt{3} $$

Так как $OK$ — медиана, то $K$ — середина стороны $BC$, и $BC = 2 \cdot BK$. $$ BC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$

Ответ: радиус окружности $R = 8$, сторона $BC = 8\sqrt{3}$.

б)

На рисунке 225 показан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром $O$. Из данных рисунка имеем:

• Длина стороны $AB = 7$.
• Одинаковыми штрихами отмечены стороны $AB$ и $BC$, следовательно, $AB = BC = 7$.
• Одинаковыми дугами отмечены углы $\angle OAC$ и $\angle BCO$, следовательно, $\angle OAC = \angle BCO$.

Из того, что $AB=BC$, следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а значит, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Так как $O$ — центр описанной окружности, $OA=OB=OC=R$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OAC$ ($OA=OC$). В нем углы при основании равны: $\angle OCA = \angle OAC$. Обозначим равные углы $\angle OAC = \angle BCO = \alpha$. Тогда и $\angle OCA = \alpha$.

Угол $C$ треугольника $ABC$: $\angle BCA = \angle BCO + \angle OCA = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то $\angle BAC = 2\alpha$. Угол $A$ треугольника $ABC$ также можно представить как сумму: $\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = \angle OAB + \alpha$. Приравнивая два выражения для $\angle BAC$, получаем: $2\alpha = \angle OAB + \alpha$, откуда $\angle OAB = \alpha$.

Так как треугольник $\triangle OAB$ равнобедренный ($OA=OB$), то $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. Теперь рассмотрим угол $B$ треугольника $ABC$: $\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC$. Из равнобедренного треугольника $\triangle OBC$ ($OB=OC$) следует, что $\angle OBC = \angle BCO = \alpha$. Тогда $\angle ABC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Таким образом, все три угла треугольника $ABC$ равны $2\alpha$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 2\alpha$), что означает, что треугольник $ABC$ — равносторонний. Его сторона $a = 7$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=7$. По теореме синусов: $$ \frac{a}{\sin(60^\circ)} = 2R \implies R = \frac{a}{2\sin(60^\circ)} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} $$

Найдем расстояние от центра $O$ до стороны $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. Это высота $OH$ в равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$, где $H$ — середина $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHB$. Гипотенуза $OB = R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, катет $HB = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2}$. По теореме Пифагора: $$ d^2 = OH^2 = OB^2 - HB^2 = \left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 $$ $$ d^2 = \frac{49 \cdot 3}{9} - \frac{49}{4} = \frac{49}{3} - \frac{49}{4} = 49 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 49 \left(\frac{4-3}{12}\right) = \frac{49}{12} $$ $$ d = \sqrt{\frac{49}{12}} = \frac{7}{\sqrt{12}} = \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6} $$

Ответ: расстояние от центра окружности до стороны $AB$ равно $\frac{7\sqrt{3}}{6}$, радиус окружности $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.