Номер 7.11, страница 139 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.11. a) Вписанная в равносторонний треугольник $ABC$ окружность радиусом 2 см пересекает высоту $BH$ треугольника $ABC$ в точке $P$. Через точку $P$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает стороны треугольника в точках $K$ и $E$. Найдите периметр треугольника $BKE$.

б) В равносторонний треугольник $MNR$ вписана окружность, которая пересекает высоту $NT$ треугольника $MNR$ в точке $O$. Через точку $O$ перпендикулярно $NT$ проведена прямая, пересекающая стороны треугольника $MNR$ в точках $A$ и $B$. Периметр треугольника $ANB$ равен 12 см. Найдите радиус вписанной в треугольник $MNR$ окружности.

а) Пусть $O$ - центр вписанной окружности в равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения высот, медиан и биссектрис. Высота $BH$ проходит через центр $O$.
Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до стороны $AC$, то есть $OH = r = 2$ см.
Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $BO : OH = 2 : 1$.
Отсюда $BO = 2 \cdot OH = 2 \cdot 2 = 4$ см.
Высота треугольника $ABC$ равна $BH = BO + OH = 4 + 2 = 6$ см.
Вписанная окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r=2$ см пересекает высоту $BH$ в двух точках. Одна из них - точка касания $H$. Другая точка $P$ лежит на отрезке $BO$ так, что расстояние от центра до неё равно радиусу, то есть $OP = r = 2$ см.
Найдем расстояние от вершины $B$ до точки $P$: $BP = BO - OP = 4 - 2 = 2$ см.
Прямая $KE$ проведена через точку $P$ параллельно стороне $AC$ ($K \in AB$, $E \in BC$). Следовательно, треугольник $BKE$ подобен треугольнику $ABC$. Так как $\triangle ABC$ - равносторонний, то и $\triangle BKE$ - равносторонний.
Коэффициент подобия треугольников равен отношению их высот. Высота $\triangle BKE$, проведенная из вершины $B$, равна $BP$. Высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $B$, равна $BH$.
Коэффициент подобия $k = \frac{BP}{BH} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{P_{BKE}}{P_{ABC}} = k = \frac{1}{3}$.
Найдем сторону треугольника $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ и высотой $h$ справедлива формула $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BH = \frac{AC\sqrt{3}}{2} \implies 6 = \frac{AC\sqrt{3}}{2} \implies AC = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.
Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = 3 \cdot AC = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем периметр треугольника $BKE$: $P_{BKE} = \frac{1}{3} \cdot P_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

б) Пусть $\triangle MNR$ - равносторонний, $NT$ - его высота. Прямая $AB$ проведена через точку $O$ перпендикулярно высоте $NT$ ($A \in MN$, $B \in NR$).
Так как высота $NT$ перпендикулярна основанию $MR$, а прямая $AB$ перпендикулярна $NT$, то $AB$ параллельна $MR$.
Следовательно, $\triangle ANB$ подобен $\triangle MNR$. Так как $\triangle MNR$ равносторонний, то и $\triangle ANB$ является равносторонним.
Периметр треугольника $ANB$ равен 12 см. Так как он равносторонний, то длина его стороны равна $a_{ANB} = \frac{12}{3} = 4$ см.
Высота равностороннего треугольника $ANB$, проведенная из вершины $N$, равна $h_{ANB} = \frac{a_{ANB}\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Пусть $r$ - радиус вписанной в $\triangle MNR$ окружности, а $I$ - ее центр. Центр $I$ лежит на высоте $NT$. Расстояние от центра до точки касания $T$ равно радиусу, т.е. $IT = r$. В равностороннем треугольнике высота делится центром вписанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $NI = 2r$, а вся высота $NT = NI + IT = 3r$.
По условию, вписанная окружность пересекает высоту $NT$ в точке $O$. Одной точкой пересечения является точка касания $T$. Вторая точка $O$ находится на высоте на расстоянии радиуса от центра $I$, то есть $IO=r$. Точка $O$ лежит на отрезке $NI$.
Найдем расстояние от вершины $N$ до точки $O$: $NO = NI - IO = 2r - r = r$.
Прямая $AB$ проходит через точку $O$ и параллельна $MR$, значит, отрезок $NO$ является высотой треугольника $ANB$.
Таким образом, мы получили два выражения для высоты треугольника $ANB$: $h_{ANB} = NO = r$ и $h_{ANB} = 2\sqrt{3}$ см.
Приравнивая их, получаем $r = 2\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см.