Номер 8.4, страница 142 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.4. a) Синус угла между высотой, равной $\frac{6\sqrt{13}}{13}$, и медианой прямоугольного треугольника, проведенными к гипотенузе, равен $\frac{12}{13}$. Найдите диаметр описанной около этого треугольника окружности.

б) Диаметр описанной около прямоугольного треугольника окружности равен 12. Найдите синус угла между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе, если высота равна $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

а) Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведем к гипотенузе $AB$ высоту $CH$ и медиану $CM$. По условию, высота $h = CH = \frac{6\sqrt{13}}{13}$, а синус угла $\alpha$ между высотой и медианой, то есть $\sin(\angle HCM)$, равен $\frac{12}{13}$. Рассмотрим треугольник $CHM$. Так как $CH$ — высота к гипотенузе $AB$, то $\angle CHM = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CHM$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике $CHM$ катет $CH$ и гипотенуза $CM$ связаны через косинус угла $\angle HCM$: $ \cos(\angle HCM) = \frac{CH}{CM} $ Найдем косинус угла $\angle HCM$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Поскольку $\angle HCM$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, его косинус положителен. $ \cos(\angle HCM) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle HCM)} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169-144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $ Теперь мы можем найти длину медианы $CM$: $ CM = \frac{CH}{\cos(\angle HCM)} = \frac{\frac{6\sqrt{13}}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{6\sqrt{13}}{5} $ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Также радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы, а диаметр $D$ равен всей гипотенузе. Таким образом, $CM = R = \frac{D}{2}$. Отсюда находим диаметр описанной окружности: $ D = 2 \cdot CM = 2 \cdot \frac{6\sqrt{13}}{5} = \frac{12\sqrt{13}}{5} $
Ответ: $\frac{12\sqrt{13}}{5}$

б) Пусть, как и в предыдущем пункте, дан прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), $CH$ — высота, $CM$ — медиана к гипотенузе $AB$. По условию, диаметр описанной окружности равен 12. В прямоугольном треугольнике диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Следовательно, гипотенуза $c = AB = 12$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: $ m_c = CM = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 $ Высота, проведенная к гипотенузе, по условию равна $h = CH = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$ (с прямым углом при вершине $H$). Мы знаем длину гипотенузы $CM = 6$ и катета $CH = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Нам нужно найти синус угла между высотой и медианой, то есть $\sin(\angle HCM)$. В прямоугольном треугольнике $CHM$ синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета $HM$ к гипотенузе $CM$: $ \sin(\angle HCM) = \frac{HM}{CM} $ Найдем длину катета $HM$ по теореме Пифагора: $CM^2 = CH^2 + HM^2$. $ HM^2 = CM^2 - CH^2 = 6^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 36 - \frac{16 \cdot 3}{9} = 36 - \frac{48}{9} = 36 - \frac{16}{3} $ $ HM^2 = \frac{108 - 16}{3} = \frac{92}{3} $ $ HM = \sqrt{\frac{92}{3}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 23}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{23}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{69}}{3} $ Теперь можем найти синус искомого угла: $ \sin(\angle HCM) = \frac{HM}{CM} = \frac{\frac{2\sqrt{69}}{3}}{6} = \frac{2\sqrt{69}}{3 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{69}}{18} = \frac{\sqrt{69}}{9} $
Ответ: $\frac{\sqrt{69}}{9}$