Номер 8.10, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.10. a) Биссектрисы $BP$ и $AH$ треугольника $ABC$ ($\angle A = 90^\circ$) пересекаются в точке $O$. $AH$ пересекает вписанную в треугольник $ABC$ окружность в точке $K$ (точка $O$ принадлежит отрезку $AK$). Найдите радиус вписанной окружности, если расстояние от точки $K$ до одного из катетов равно $6\sqrt{2}$ см.

б) Биссектрисы $BP$ и $AH$ треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) пересекаются в точке $O$. $BP$ пересекает вписанную в треугольник $ABC$ окружность в точке $K$ (точка $K$ принадлежит отрезку $BO$). Найдите радиус вписанной окружности, если расстояние от точки $K$ до катета $AC$ равно $4,5(2 + \sqrt{3})$ см.

а)

Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат. Пусть вершина $A$, где прямой угол, находится в начале координат $(0, 0)$. Катет $AC$ расположим на оси $Ox$, а катет $AB$ — на оси $Oy$.

Точка $O$ — центр вписанной окружности (инцентр), является точкой пересечения биссектрис. В прямоугольном треугольнике с катетами на осях координат, центр вписанной окружности имеет координаты $(r, r)$, где $r$ — радиус этой окружности. Таким образом, $O(r, r)$.

$AH$ — биссектриса угла $A$. Поскольку $\angle A = 90^\circ$, биссектриса $AH$ делит его на два угла по $45^\circ$ и является прямой с уравнением $y=x$. Эта прямая проходит через точки $A(0, 0)$ и $O(r, r)$.

Точки $A$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой $AH$. По условию, точка $O$ принадлежит отрезку $AK$. Это означает, что точки расположены в порядке $A-O-K$. Расстояние от вершины $A$ до точки $K$ равно сумме расстояний от $A$ до $O$ и от $O$ до $K$.

Расстояние $AO$ — это расстояние от вершины до инцентра: $AO = \sqrt{(r-0)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$.

Расстояние $OK$ — это радиус вписанной окружности, так как $O$ — её центр, а $K$ лежит на ней. Следовательно, $OK = r$.

Тогда расстояние $AK$ равно: $AK = AO + OK = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1)$.

Точка $K$ лежит на прямой $y=x$, поэтому её координаты можно записать как $(x_K, x_K)$. Расстояние от начала координат $A(0,0)$ до точки $K(x_K, x_K)$ равно: $AK = \sqrt{(x_K - 0)^2 + (x_K - 0)^2} = \sqrt{x_K^2 + x_K^2} = x_K\sqrt{2}$.

Приравнивая два выражения для $AK$, получаем: $x_K\sqrt{2} = r(\sqrt{2} + 1)$ $x_K = \frac{r(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}} = r\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Расстояние от точки $K(x_K, y_K)$ до одного из катетов (например, до катета $AB$, лежащего на оси $Oy$) равно её абсциссе $x_K$. Расстояние до катета $AC$ (ось $Ox$) равно ординате $y_K$. Так как $x_K=y_K$, эти расстояния равны. По условию, это расстояние равно $6\sqrt{2}$ см. $x_K = 6\sqrt{2}$.

Подставим это значение в найденное нами уравнение: $r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 6\sqrt{2}$ $r\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right) = 6\sqrt{2}$ $r = \frac{12\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2-\sqrt{2})$: $r = \frac{12\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{24\sqrt{2} - 12 \cdot 2}{4 - 2} = \frac{24\sqrt{2} - 24}{2} = 12\sqrt{2} - 12 = 12(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $12(\sqrt{2} - 1)$ см.

б)

Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат. Пусть вершина $C$, где прямой угол, находится в начале координат $(0, 0)$. Катет $CA$ расположим на оси $Ox$, а катет $CB$ — на оси $Oy$.

Дано: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, следовательно $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Центр вписанной окружности $O$ имеет координаты $(r, r)$, где $r$ — радиус вписанной окружности.

Пусть длина катета $CB = a$, а $CA = b$. Тогда $A(b, 0)$ и $B(0, a)$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\text{tg}(A) = \frac{CB}{CA} = \frac{a}{b}$. $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, значит $\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, откуда $b = a\sqrt{3}$. Гипотенуза $c = AB = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2+(a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2+3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{a+a\sqrt{3}-2a}{2} = \frac{a\sqrt{3}-a}{2} = \frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}$. Выразим длину катета $a$ через радиус $r$: $a = \frac{2r}{\sqrt{3}-1} = \frac{2r(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2r(\sqrt{3}+1)}{3-1} = r(\sqrt{3}+1)$. Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(0, r(\sqrt{3}+1))$.

$BP$ — биссектриса угла $B$, поэтому она проходит через центр вписанной окружности $O$. Точки $B$, $O$, $K$ лежат на одной прямой. По условию, точка $K$ принадлежит отрезку $BO$. Это означает, что точки расположены в порядке $B-K-O$. Расстояние $BO$ равно сумме расстояний $BK$ и $KO$.

Найдем расстояние $BO$ между точками $B(0, r(\sqrt{3}+1))$ и $O(r, r)$: $BO = \sqrt{(r-0)^2 + (r - r(\sqrt{3}+1))^2} = \sqrt{r^2 + (r - r\sqrt{3} - r)^2} = \sqrt{r^2 + (-r\sqrt{3})^2} = \sqrt{r^2 + 3r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r$.

Расстояние $KO$ равно радиусу вписанной окружности, так как $K$ лежит на ней, а $O$ — её центр. $KO=r$. Из соотношения $BO = BK + KO$ получаем $2r = BK + r$, откуда $BK = r$. Это означает, что $BK = KO = r$, и точка $K$ является серединой отрезка $BO$.

Найдем координаты точки $K$ как середины отрезка $BO$: $x_K = \frac{0+r}{2} = \frac{r}{2}$ $y_K = \frac{r(\sqrt{3}+1) + r}{2} = \frac{r\sqrt{3}+r+r}{2} = \frac{r\sqrt{3}+2r}{2} = \frac{r(\sqrt{3}+2)}{2}$. Координаты точки $K$ равны $\left(\frac{r}{2}, \frac{r(2+\sqrt{3})}{2}\right)$.

Расстояние от точки $K$ до катета $AC$ (ось $Ox$) равно её ординате $y_K$. По условию, это расстояние равно $4,5(2+\sqrt{3})$ см. $y_K = 4,5(2+\sqrt{3})$.

Составим уравнение: $\frac{r(2+\sqrt{3})}{2} = 4,5(2+\sqrt{3})$. Так как $(2+\sqrt{3}) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на это выражение: $\frac{r}{2} = 4,5$ $r = 9$.

Ответ: 9 см.