Номер 9.2, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.2. Окружность с центром $O$ радиусом $r$ вписана в четырехугольник $ABCD$. По данным рисунков 230, а)—д) найдите неизвестные величины.

а) $P_{ABCD} - ?$

б) $r - ?$

в) $AD \parallel BC$; $S_{\triangle AOB} - ?$

г) $ABCD - \text{ромб}, BP : PH = 5 : 3, P_{ABCD} = 40; r - ?$

д) $ABCD - \text{ромб}; r - ?$

Рис. 230

а) P_ABCD — ?

Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство, известное как теорема Пито: суммы длин противоположных сторон равны.

В данном случае имеем: $AB + CD = BC + AD$.

По данным рисунка, $AB = 6$ и $CD = 13$.

Следовательно, сумма длин двух противоположных сторон равна $AB + CD = 6 + 13 = 19$.

Тогда и сумма двух других сторон $BC + AD$ также равна 19.

Периметр четырехугольника $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD)$.

Подставляем найденные значения: $P_{ABCD} = 19 + 19 = 38$.

Ответ: 38.

б) r — ?

Четырехугольник ABCD — прямоугольная трапеция, так как углы при стороне AB прямые. В эту трапецию вписана окружность с центром O и радиусом r.

Пусть M — точка касания окружности со стороной CD. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки, на которые точка касания делит сторону CD, равны $CM = 2$ и $DM = 4$.

Рассмотрим треугольник COD. Центр вписанной окружности O лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, CO и DO — биссектрисы углов C и D.

Так как BC || AD (как основания трапеции), то сумма углов при боковой стороне равна 180°: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.

Углы треугольника COD при вершинах C и D равны половинам углов трапеции: $\angle OCD = \frac{1}{2}\angle BCD$ и $\angle ODC = \frac{1}{2}\angle ADC$.

Сумма этих углов: $\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник COD — прямоугольный, с прямым углом при вершине O.

Отрезок OM, соединяющий центр окружности с точкой касания на стороне CD, является радиусом, перпендикулярным к касательной CD. Таким образом, OM — высота в прямоугольном треугольнике COD, проведенная к гипотенузе CD.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $OM^2 = CM \cdot DM$.

Поскольку $OM = r$, $CM = 2$ и $DM = 4$, получаем:

$r^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

в) AD || BC; S_▵AOB — ?

Дан четырехугольник ABCD, в который вписана окружность. По условию, AD || BC, следовательно, ABCD — трапеция. Известны длины оснований $BC = 4$, $AD = 9$ и боковой стороны $CD = 8$.

По теореме Пито, суммы длин противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$.

Подставим известные значения, чтобы найти длину стороны AB:

$AB + 8 = 4 + 9 \implies AB + 8 = 13 \implies AB = 5$.

Площадь треугольника AOB вычисляется по формуле $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Для нахождения $r$ необходимо определить высоту трапеции $h$, так как $h = 2r$.

Проведем через вершину B прямую, параллельную стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке K. Четырехугольник BCDK является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $BK = CD = 8$ и $DK = BC = 4$.

Рассмотрим треугольник ABK. Его стороны равны: $AB = 5$, $BK = 8$, $AK = AD - DK = 9 - 4 = 5$.

Высота трапеции $h$ совпадает с высотой треугольника ABK, проведенной из вершины B к стороне AK. Найдем площадь треугольника ABK по формуле Герона. Полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BK + AK}{2} = \frac{5 + 8 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Площадь треугольника ABK:

$S_{\triangle ABK} = \sqrt{p(p-AB)(p-BK)(p-AK)} = \sqrt{9(9-5)(9-8)(9-5)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 4} = \sqrt{144} = 12$.

С другой стороны, площадь треугольника ABK можно выразить через высоту $h$:

$S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} AK \cdot h \implies 12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h$.

Отсюда $h = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты трапеции:

$r = \frac{h}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4$.

Теперь можем найти площадь треугольника AOB:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.4 = 2.5 \cdot 2.4 = 6$.

Ответ: 6.

г) ABCD — ромб, BP : PH = 5 : 3, P_ABCD = 40; r — ?

Поскольку ABCD — ромб, все его стороны равны. Периметр ромба $P_{ABCD} = 40$, следовательно, длина стороны $a = P_{ABCD} / 4 = 40 / 4 = 10$.

На рисунке BH — высота ромба, проведенная к стороне CD ($BH \perp CD$). Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты $h$, то есть $r = h/2 = BH/2$.

Точка P — это точка пересечения высоты BH и диагонали AC. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, AC является биссектрисой угла BCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (угол H прямой). Отрезок CP лежит на диагонали AC, поэтому является биссектрисой угла BCH.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (BH) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (BC и HC):

$\frac{BP}{PH} = \frac{BC}{HC}$

По условию, $BP : PH = 5 : 3$, и мы нашли, что $BC = 10$. Подставляем эти значения:

$\frac{5}{3} = \frac{10}{HC}$

Отсюда находим длину отрезка HC: $5 \cdot HC = 30 \implies HC = 6$.

В прямоугольном треугольнике BHC известны гипотенуза $BC=10$ и катет $HC=6$. По теореме Пифагора найдем второй катет BH:

$BH^2 + HC^2 = BC^2 \implies BH^2 + 6^2 = 10^2 \implies BH^2 + 36 = 100$.

$BH^2 = 64 \implies BH = 8$.

Высота ромба $h = BH = 8$. Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: 4.

д) ABCD — ромб; r — ?

Дан ромб ABCD с вписанной окружностью. Известен угол $\angle ABD = 60^\circ$.

В ромбе диагональ является биссектрисой угла, поэтому $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит $\angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Так как треугольник ABD равнобедренный ($AB=AD$) с углом 60°, он является равносторонним. Следовательно, $AB = AD = BD$.

Хотя на рисунке число 4 стоит на отрезке, похожем на радиус, такое изображение может быть условным. В задачах такого типа часто оказывается, что числовое значение относится к отрезку диагонали. Предположим, что 4 — это длина отрезка $OD$.

Центр O делит диагонали пополам, поэтому $BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 4 = 8$.

Так как $a = BD$, то сторона ромба $a=8$.

Высота ромба $h$ равна $h = a \cdot \sin(\angle BAD) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.