Номер 9.5, страница 146 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.5. a) ABCD — прямоугольник, $AB = 12$ см, $\angle CAB = 30^\circ$. Найдите расстояние между центром окружности, описанной около прямоугольника ABCD, и центром окружности, описанной около треугольника BCO, если O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.

б) O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, расстояние между центром окружности, описанной около прямоугольника ABCD, и центром окружности, описанной около треугольника BCO, равно 6 см. Найдите AB, если $AC : BC = 2 : 1$.

1. Центром окружности, описанной около любого прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. По условию, это точка $O$. Обозначим этот центр как $O_1$, таким образом, $O_1 = O$.

2. Обозначим центр окружности, описанной около треугольника $BCO$, как $O_2$. Мы ищем расстояние $O_1O_2$, то есть $OO_2$.

3. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Из этого следует, что треугольник $BCO$ является равнобедренным с основанием $BC$, так как $BO = CO$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$). Нам даны катет $AB = 12$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 30^\circ$. Найдем гипотенузу $AC$ и катет $BC$.
$AC = \frac{AB}{\cos(\angle CAB)} = \frac{12}{\cos(30^\circ)} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.
$BC = AB \cdot \tan(\angle CAB) = 12 \cdot \tan(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

5. Теперь найдем длины сторон треугольника $BCO$.
Мы знаем, что $BC = 4\sqrt{3}$ см.
Стороны $BO$ и $CO$ равны половине диагонали $AC$:
$BO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Таким образом, все стороны треугольника $BCO$ равны: $BO = CO = BC = 4\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $BCO$ — равносторонний.

6. Центр $O_2$ описанной окружности около равностороннего треугольника $BCO$ совпадает с его геометрическим центром (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис). Точка $O$ (центр $O_1$) является одной из вершин этого треугольника. Расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра равно радиусу описанной около него окружности.
Следовательно, искомое расстояние $OO_2$ равно радиусу $R$ окружности, описанной около треугольника $BCO$.

7. Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
В нашем случае сторона $a = BC = 4\sqrt{3}$ см. $OO_2 = R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

1. Как и в предыдущем пункте, центр $O_1$ окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$, — это точка пересечения диагоналей $O$. Центр $O_2$ — это центр окружности, описанной около треугольника $BCO$. По условию, расстояние между ними $O_1O_2 = OO_2 = 6$ см.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник $BCO$ равнобедренный ($BO = CO$). Длины этих сторон равны половине диагонали $AC$: $BO = CO = \frac{AC}{2}$.

3. По условию дано соотношение $AC : BC = 2 : 1$. Пусть $BC = x$, тогда $AC = 2x$.
Найдем длины сторон треугольника $BCO$ через $x$:
$BC = x$
$BO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
Так как все стороны треугольника $BCO$ равны $x$ ($BC = BO = CO = x$), он является равносторонним.

4. Точка $O$ является одной из вершин равностороннего треугольника $BCO$, а точка $O_2$ — его центром. Расстояние от вершины до центра равностороннего треугольника равно радиусу $R$ описанной около него окружности. Значит, $OO_2 = R = 6$ см.

5. Используем формулу радиуса описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a=x$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставляем известные значения:
$6 = \frac{x}{\sqrt{3}}$
Отсюда находим $x = 6\sqrt{3}$ см.

6. Мы нашли стороны треугольника $BCO$. В частности, $BC = x = 6\sqrt{3}$ см. Используя соотношение из условия, найдем диагональ $AC$:
$AC = 2 \cdot BC = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). Мы знаем гипотенузу $AC = 12\sqrt{3}$ см и катет $BC = 6\sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора найдем катет $AB$:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 = AC^2 - BC^2$
$AB^2 = (12\sqrt{3})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (144 \cdot 3) - (36 \cdot 3) = 432 - 108 = 324$.
$AB = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: 18 см.