Номер 9.9, страница 147 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.9. a) Докажите, что если биссектрисы всех четырех внутренних углов любой трапеции при пересечении образуют четырехугольник, то около него можно описать окружность.

б) Докажите, что если биссектрисы всех четырех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине любой трапеции, при пересечении образуют четырехугольник, то около него можно описать окружность.

а) Докажите, что если биссектрисы всех четырех внутренних углов любой трапеции при пересечении образуют четырехугольник, то около него можно описать окружность.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Внутренние углы трапеции обозначим $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Таким образом, для боковой стороны $AB$ имеем $\angle A + \angle B = 180^\circ$, а для боковой стороны $CD$ имеем $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Пусть биссектрисы внутренних углов трапеции при пересечении образуют четырехугольник $PQRS$. Вершины этого четырехугольника являются точками пересечения смежных биссектрис:

• $P$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle B$.
• $Q$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle B$ и $\angle C$.
• $R$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle C$ и $\angle D$.
• $S$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle D$ и $\angle A$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Его углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов трапеции: $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle APB$ (который является углом $\angle P$ четырехугольника $PQRS$) можно вычислить как:
$\angle P = \angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.

Поскольку $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем:
$\angle P = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CRD$. Его углы при вершинах $C$ и $D$ равны $\angle RCD = \frac{1}{2}\angle C$ и $\angle RDC = \frac{1}{2}\angle D$. Угол $\angle CRD$ (который является углом $\angle R$ четырехугольника $PQRS$) равен:
$\angle R = \angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$.

Поскольку $\angle C + \angle D = 180^\circ$, получаем:
$\angle R = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, в четырехугольнике $PQRS$ противолежащие углы $\angle P$ и $\angle R$ являются прямыми. Их сумма равна $\angle P + \angle R = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Так как это условие выполняется, около четырехугольника $PQRS$ можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противолежащих углов четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних углов трапеции, равна $180^\circ$, что является достаточным условием для того, чтобы около него можно было описать окружность.

б) Докажите, что если биссектрисы всех четырех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине любой трапеции, при пересечении образуют четырехугольник, то около него можно описать окружность.

Пусть снова дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$. Внутренние углы трапеции — $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Внешние углы при этих вершинах равны соответственно $180^\circ - \angle A$, $180^\circ - \angle B$, $180^\circ - \angle C$ и $180^\circ - \angle D$. Как и в пункте а), для внутренних углов трапеции верно: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Пусть биссектрисы внешних углов образуют четырехугольник $P'Q'R'S'$. Вершины этого четырехугольника — точки пересечения биссектрис внешних углов при смежных вершинах трапеции.

• $P'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $B$.
• $Q'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$.
• $R'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $C$ и $D$.
• $S'$ — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $D$ и $A$.

Рассмотрим треугольник $AP'B$, образованный боковой стороной $AB$ и биссектрисами внешних углов при вершинах $A$ и $B$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих внешних углов:
$\angle P'AB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle A$
$\angle P'BA = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

Угол $\angle AP'B$ (угол $\angle P'$ четырехугольника $P'Q'R'S'$) равен:
$\angle P' = \angle AP'B = 180^\circ - (\angle P'AB + \angle P'BA) = 180^\circ - \left( \left(90^\circ - \frac{1}{2}\angle A\right) + \left(90^\circ - \frac{1}{2}\angle B\right) \right)$
$\angle P' = 180^\circ - \left( 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) \right) = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.

Так как $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем:
$\angle P' = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Аналогично для треугольника $CR'D$, образованного стороной $CD$ и биссектрисами внешних углов при вершинах $C$ и $D$, находим угол $\angle R'$:
$\angle R' = \angle CR'D = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$.

Так как $\angle C + \angle D = 180^\circ$, получаем:
$\angle R' = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Сумма противолежащих углов $\angle P'$ и $\angle R'$ в четырехугольнике $P'Q'R'S'$ равна $\angle P' + \angle R' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что четырехугольник $P'Q'R'S'$ является вписанным, то есть около него можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противолежащих углов четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов трапеции, равна $180^\circ$, следовательно, около него можно описать окружность.