Номер 9.15, страница 148 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.15. a) Около четырехугольника $ABCD$ описана окружность. Угол $ABC$ — прямой, сторона $AB$ равна 5 см, а $CD$ — 12 см. Известно, что в $ABCD$ можно вписать окружность. Найдите сумму радиусов вписанной и описанной окружностей.

б) В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Сторона $AD$ равна 8 см, угол $ABC$ — прямой. Известно, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, диаметр которой равен 17 см. Найдите диаметр вписанной в четырехугольник $ABCD$ окружности.

а)

1. Найдем радиус описанной окружности (R).

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Это значит, что он является вписанным. Угол $\angle ABC$ — прямой, то есть равен $90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр. Следовательно, диагональ $AC$ является диаметром описанной окружности. Радиус этой окружности $R = \frac{AC}{2}$.

Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Поэтому $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, с общей гипотенузой $AC$.

2. Используем свойство описанного четырехугольника.

По условию, в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Это значит, что он является описанным. Для описанного четырехугольника справедлива теорема Пито: суммы длин противоположных сторон равны.

$AB + CD = BC + AD$

Подставляем известные значения $AB = 5$ см и $CD = 12$ см:

$5 + 12 = BC + AD$

$BC + AD = 17$

3. Найдем стороны BC и AD.

Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Приравняем правые части:

$AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2$

$5^2 + BC^2 = AD^2 + 12^2$

$25 + BC^2 = AD^2 + 144$

$BC^2 - AD^2 = 144 - 25 = 119$

Используем формулу разности квадратов: $(BC - AD)(BC + AD) = 119$.

Мы уже знаем, что $BC + AD = 17$. Подставим это значение:

$(BC - AD) \cdot 17 = 119$

$BC - AD = \frac{119}{17} = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} BC + AD = 17 \\ BC - AD = 7 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $2BC = 24 \implies BC = 12$ см. Вычитая второе уравнение из первого, получим: $2AD = 10 \implies AD = 5$ см.

4. Вычислим радиус описанной окружности (R).

Теперь найдем длину диагонали $AC$ из $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$AC = \sqrt{169} = 13$ см.

Радиус описанной окружности $R = \frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ см.

5. Найдем радиус вписанной окружности (r).

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь четырехугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь $ABCD$ равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC + \frac{1}{2}AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 + 30 = 60$ см².

Полупериметр $p = \frac{AB+BC+CD+AD}{2} = \frac{5+12+12+5}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{17}$ см.

6. Найдем сумму радиусов.

$R + r = \frac{13}{2} + \frac{60}{17} = \frac{13 \cdot 17}{2 \cdot 17} + \frac{60 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{221}{34} + \frac{120}{34} = \frac{221+120}{34} = \frac{341}{34}$ см.

Ответ: $\frac{341}{34}$ см.

б)

1. Используем свойства вписанного четырехугольника.

Четырехугольник $ABCD$ можно описать окружностью, значит он вписанный. Диаметр этой окружности равен 17 см. Поскольку угол $\angle ABC = 90^\circ$, он опирается на диаметр. Следовательно, диагональ $AC$ является диаметром описанной окружности, и ее длина $AC = 17$ см.

Так как четырехугольник вписанный, сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Найдем стороны четырехугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. По теореме Пифагора:

$AD^2 + CD^2 = AC^2$

Нам известно, что $AD = 8$ см и $AC = 17$ см.

$8^2 + CD^2 = 17^2$

$64 + CD^2 = 289$

$CD^2 = 289 - 64 = 225$

$CD = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь используем свойство описанного четырехугольника (теорема Пито):

$AB + CD = BC + AD$

$AB + 15 = BC + 8$

$BC - AB = 15 - 8 = 7$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По теореме Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = AC^2 = 17^2 = 289$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} BC - AB = 7 \\ AB^2 + BC^2 = 289 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $BC = AB + 7$ и подставим во второе:

$AB^2 + (AB + 7)^2 = 289$

$AB^2 + AB^2 + 14AB + 49 = 289$

$2AB^2 + 14AB - 240 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$AB^2 + 7AB - 120 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529 = 23^2$.

$AB = \frac{-7 \pm 23}{2}$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:

$AB = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Тогда $BC = AB + 7 = 8 + 7 = 15$ см.

3. Найдем диаметр вписанной окружности.

Диаметр вписанной окружности равен $2r$, где $r$ - ее радиус. Найдем радиус по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь, а $p$ — полупериметр.

Площадь $S$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC + \frac{1}{2}AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 + 60 = 120$ см².

Полупериметр $p = \frac{AB+BC+CD+AD}{2} = \frac{8+15+15+8}{2} = \frac{46}{2} = 23$ см.

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{120}{23}$ см.

Диаметр вписанной окружности $d = 2r = 2 \cdot \frac{120}{23} = \frac{240}{23}$ см.

Ответ: $\frac{240}{23}$ см.