Номер 8.6, страница 143 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.6. a) В треугольнике $ABC AB = 4,8$, $AC = 3,6$, $BC = 6$. Через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает две другие стороны треугольника $ABC$ в точках $P$ и $M$. Найдите биссектрису треугольника $PAM$, проведенную из вершины $A$.

б) Через центр окружности, вписанной в треугольник со сторонами $1$; $2,4$ и $2,6$, проведена прямая, параллельная наибольшей стороне треугольника. Найдите биссектрису треугольника, отсекаемого этой прямой, проведенную к наибольшей стороне.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника $ABC$. Через точку $I$ проведена прямая $PM$, параллельная стороне $BC$ ($P \in AB, M \in AC$). Так как $PM \parallel BC$, то треугольник $APM$ подобен треугольнику $ABC$.

Биссектриса угла $A$ в треугольнике $APM$, назовем ее $l'_A$, является частью биссектрисы угла $A$ в треугольнике $ABC$, назовем ее $l_A$. Отношение длин этих биссектрис равно коэффициенту подобия $k$ треугольников $APM$ и $ABC$: $\frac{l'_A}{l_A} = k$.

Найдем коэффициент подобия. Инцентр $I$ является точкой пересечения биссектрис. Таким образом, $BI$ — биссектриса угла $B$, а $CI$ — биссектриса угла $C$.

Поскольку $PM \parallel BC$, то $\angle PIB = \angle IBC$ как накрест лежащие углы. Так как $BI$ — биссектриса, $\angle PBI = \angle IBC$. Следовательно, $\angle PIB = \angle PBI$, и треугольник $PBI$ является равнобедренным, откуда $PI = PB$.

Аналогично, $\angle MIC = \angle ICB$ как накрест лежащие углы. Так как $CI$ — биссектриса, $\angle MCI = \angle ICB$. Следовательно, $\angle MIC = \angle MCI$, и треугольник $MCI$ является равнобедренным, откуда $MI = MC$.

Длина отрезка $PM = PI + IM$. Подставляя найденные равенства, получаем $PM = PB + MC$.

Теперь найдем периметр треугольника $APM$:

$P_{APM} = AP + AM + PM = AP + AM + (PB + MC) = (AP + PB) + (AM + MC) = AB + AC$.

Подставляя данные из условия задачи ($AB = 4,8$, $AC = 3,6$), получаем:

$P_{APM} = 4,8 + 3,6 = 8,4$.

Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + AC + BC = 4,8 + 3,6 + 6 = 14,4$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению периметров:

$k = \frac{P_{APM}}{P_{ABC}} = \frac{8,4}{14,4} = \frac{84}{144} = \frac{7 \cdot 12}{12 \cdot 12} = \frac{7}{12}$.

Далее найдем длину биссектрисы $l_A$ треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$. Воспользуемся формулой $l_A = \sqrt{AB \cdot AC - BD \cdot CD}$, где $D$ — точка пересечения биссектрисы со стороной $BC$.

По свойству биссектрисы $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{4,8}{3,6} = \frac{4}{3}$. Учитывая, что $BD + CD = BC = 6$, находим $BD = \frac{4}{7}BC = \frac{24}{7}$ и $CD = \frac{3}{7}BC = \frac{18}{7}$.

Теперь вычисляем квадрат длины биссектрисы $l_A$:

$l_A^2 = 4,8 \cdot 3,6 - \frac{24}{7} \cdot \frac{18}{7} = 17,28 - \frac{432}{49} = \frac{1728}{100} - \frac{432}{49} = \frac{432 \cdot 4}{25 \cdot 4} - \frac{432}{49} = \frac{432}{25} - \frac{432}{49} = 432(\frac{1}{25} - \frac{1}{49}) = 432 \cdot \frac{49-25}{25 \cdot 49} = \frac{432 \cdot 24}{1225} = \frac{10368}{1225}$.

$l_A = \sqrt{\frac{10368}{1225}} = \frac{\sqrt{144 \cdot 72}}{35} = \frac{12\sqrt{36 \cdot 2}}{35} = \frac{12 \cdot 6\sqrt{2}}{35} = \frac{72\sqrt{2}}{35}$.

Наконец, находим искомую биссектрису $l'_A$ треугольника $PAM$:

$l'_A = k \cdot l_A = \frac{7}{12} \cdot \frac{72\sqrt{2}}{35} = \frac{7 \cdot 72 \cdot \sqrt{2}}{12 \cdot 35} = \frac{7 \cdot (6 \cdot 12) \cdot \sqrt{2}}{12 \cdot (5 \cdot 7)} = \frac{6\sqrt{2}}{5}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{2}}{5}$.

Пусть стороны треугольника равны $a=2,4$, $b=1$ и $c=2,6$. Наибольшая сторона — $c=2,6$. Проверим, является ли треугольник прямоугольным:

$a^2 + b^2 = (2,4)^2 + 1^2 = 5,76 + 1 = 6,76$.

$c^2 = (2,6)^2 = 6,76$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным. Угол, противолежащий наибольшей стороне (гипотенузе), прямой. Обозначим вершины так, чтобы $\angle C = 90^\circ$, тогда катеты $AC=b=1$ и $BC=a=2,4$, а гипотенуза $AB=c=2,6$.

Через центр вписанной окружности $I$ проведена прямая, параллельная наибольшей стороне $AB$, которая пересекает катеты $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $M$ соответственно. Образуется треугольник $PCM$, подобный исходному треугольнику $ACB$.

Требуется найти биссектрису треугольника $PCM$, проведенную к стороне $PM$ (которая соответствует наибольшей стороне $AB$). Эта биссектриса выходит из вершины $C$. Обозначим ее $l'_C$.

Отношение биссектрис подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$: $\frac{l'_C}{l_C} = k$, где $l_C$ — биссектриса прямого угла в треугольнике $ACB$.

Как и в пункте а), можно показать, что периметр малого треугольника $PCM$ равен сумме катетов большого треугольника: $P_{PCM} = AC + BC = 1 + 2,4 = 3,4$.

Периметр треугольника $ACB$ равен $P_{ACB} = AC + BC + AB = 1 + 2,4 + 2,6 = 6$.

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{P_{PCM}}{P_{ACB}} = \frac{3,4}{6} = \frac{34}{60} = \frac{17}{30}$.

Теперь найдем длину биссектрисы прямого угла $l_C$ в треугольнике $ACB$. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ ее длина вычисляется по формуле $l_C = \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$.

$l_C = \frac{1 \cdot 2,4 \cdot \sqrt{2}}{1 + 2,4} = \frac{2,4\sqrt{2}}{3,4} = \frac{24\sqrt{2}}{34} = \frac{12\sqrt{2}}{17}$.

Наконец, вычислим искомую биссектрису $l'_C$ треугольника $PCM$:

$l'_C = k \cdot l_C = \frac{17}{30} \cdot \frac{12\sqrt{2}}{17} = \frac{12\sqrt{2}}{30} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{5}$.