Номер 2.10, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.10. Стороны трапеции относятся как 1 : 1 : 1 : 2. Докажите, что у этой трапеции острый угол равен $60^\circ$ и диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$, у которой основания $BC$ и $AD$. Согласно условию, стороны трапеции относятся как $1:1:1:2$. Поскольку в трапеции основания не могут быть равны, большее основание должно соответствовать части '2' в отношении, а три другие стороны (меньшее основание и две боковые стороны) — части '1'. Это означает, что боковые стороны равны, следовательно, трапеция является равнобедренной.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда длины сторон трапеции равны: $AB = CD = BC = x$ (боковые стороны и меньшее основание). $AD = 2x$ (большее основание).

Доказательство того, что острый угол равен 60°

Проведем из вершины $C$ прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, где точка $E$ лежит на основании $AD$. Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CE$ по построению и $BC \parallel AE$ как части оснований трапеции).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AE = BC = x$ и $CE = AB = x$. Рассмотрим отрезок $ED$ на основании $AD$. Его длина равна $ED = AD - AE = 2x - x = x$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Все его стороны равны: $CD = x$ (по условию), $CE = x$ (как сторона параллелограмма) и $ED = x$ (по вычислению). Следовательно, треугольник $CDE$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Таким образом, угол $D$ трапеции, который является также углом $CDE$ треугольника, равен $60^{\circ}$. $\angle D = \angle CDE = 60^{\circ}$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная ($AB=CD$), углы при ее основании равны. Следовательно, острый угол при основании $AD$, $\angle A$, также равен $60^{\circ}$. $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Острый угол трапеции равен 60°.

Доказательство того, что диагональ перпендикулярна боковой стороне

Рассмотрим диагональ $AC$. Нам нужно доказать, что она перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^{\circ}$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Для стороны $AB$ имеем: $\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$. Поскольку мы доказали, что $\angle BAD = \angle A = 60^{\circ}$, то $\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равнобедренным, так как $AB = BC = x$. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle BAC = \angle BCA = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Теперь мы можем найти угол $\angle CAD$. Угол $\angle A$ трапеции состоит из двух углов: $\angle DAB = \angle CAD + \angle CAB$. Подставляя известные значения, получаем: $60^{\circ} = \angle CAD + 30^{\circ}$. Следовательно, $\angle CAD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

Наконец, рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны два его угла: $\angle D = 60^{\circ}$ (доказано ранее). $\angle CAD = 30^{\circ}$ (вычислено выше).

Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол, $\angle ACD$: $\angle ACD = 180^{\circ} - (\angle D + \angle CAD) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Таким образом, угол между диагональю $AC$ и боковой стороной $CD$ равен $90^{\circ}$, что означает, что они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.