Номер 29.1, страница 121 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.1. а) $AK$ — касательная к окружности ($K$ — точка касания).

Найдите $AB$, если $AK = 6$ см, $BC = 9$ см (рис. 195).

б) $NL$ — касательная к окружности ($L$ — точка касания).

Найдите $NP$, если $NL = 10$ см, $PM = 21$ см (рис. 196).

Рис. 195

Рис. 196

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей (или теоремой о степени точки). Согласно этой теореме, квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью. Для точки А, касательной AK и секущей AC, пересекающей окружность в точках B и C, формула выглядит так: $AK^2 = AB \cdot AC$.

Секущая AC состоит из двух частей: внешней части AB и хорды BC. Таким образом, длина всей секущей равна $AC = AB + BC$.

По условию задачи нам даны следующие значения: $AK = 6$ см, $BC = 9$ см. Необходимо найти AB.

Пусть длина искомого отрезка AB равна $x$ см. Тогда длина всей секущей AC будет равна $x + 9$ см.

Подставим известные и неизвестные величины в формулу теоремы:

$6^2 = x \cdot (x + 9)$

$36 = x^2 + 9x$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 9x - 36 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Воспользуемся формулой через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку длина отрезка AB не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не имеет геометрического смысла в данной задаче. Следовательно, длина отрезка AB равна 3 см.

Ответ: 3 см.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей, с использованием теоремы о касательной и секущей. Для точки N, касательной NL и секущей NM, пересекающей окружность в точках P и M, формула имеет вид: $NL^2 = NP \cdot NM$.

Длина всей секущей NM складывается из длины ее внешней части NP и хорды PM: $NM = NP + PM$.

Из условия задачи нам известно: $NL = 10$ см, $PM = 21$ см. Требуется найти NP.

Пусть искомая длина отрезка NP равна $y$ см. Тогда длина всей секущей NM будет равна $y + 21$ см.

Подставим эти значения в формулу теоремы:

$10^2 = y \cdot (y + 21)$

$100 = y^2 + 21y$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y^2 + 21y - 100 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 441 + 400 = 841$

Теперь найдем корни уравнения ($\sqrt{841} = 29$):

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 + 29}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 - 29}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как длина отрезка NP должна быть положительной, корень $y_2 = -25$ нам не подходит. Таким образом, длина отрезка NP составляет 4 см.

Ответ: 4 см.