Номер 28.2, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.2. a) По данным рисунка 191 найдите градусную меру угла $NML$, если $\cup NL = 108^\circ$, $\cup PK = 29^\circ$.

б) По данным рисунка 192 найдите градусную меру угла $LCK$, если $\cup BC = 110^\circ$, $\angle BAC = 22^\circ$.

Рис. 191

Рис. 192

а) Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг. В данном случае, угол $ \angle NML $ образован секущими $MPN$ и $MKL$. Эти секущие высекают на окружности дуги ◡NL и ◡PK.

По условию, градусная мера дуги ◡NL равна $108^\circ$, а градусная мера дуги ◡PK равна $29^\circ$.

Формула для нахождения угла $ \angle NML $:

$ \angle NML = \frac{1}{2} (\text{дуга } NL - \text{дуга } PK) $

Подставим известные значения:

$ \angle NML = \frac{1}{2} (108^\circ - 29^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 79^\circ = 39,5^\circ $

Ответ: $39,5^\circ$.

б) Сначала найдем градусную меру дуги ◡LK. Угол $ \angle BAC $, образованный двумя секущими $ABC$ и $ALK$, пересекающимися в точке $A$ вне окружности, равен полуразности градусных мер высекаемых ими дуг ◡BC и ◡LK.

Формула для нахождения угла $ \angle BAC $:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC - \text{дуга } LK) $

По условию, $ \angle BAC = 22^\circ $ и градусная мера дуги ◡BC равна $ 110^\circ $. Подставим эти значения в формулу и выразим градусную меру дуги ◡LK:

$ 22^\circ = \frac{1}{2} (110^\circ - \text{дуга } LK) $

$ 2 \cdot 22^\circ = 110^\circ - \text{дуга } LK $

$ 44^\circ = 110^\circ - \text{дуга } LK $

$ \text{дуга } LK = 110^\circ - 44^\circ = 66^\circ $

Теперь найдем градусную меру угла $ \angle LCK $. Угол $ \angle LCK $ является вписанным в окружность и опирается на дугу ◡LK. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Формула для нахождения вписанного угла $ \angle LCK $:

$ \angle LCK = \frac{1}{2} \text{дуга } LK $

Подставим найденное значение градусной меры дуги ◡LK:

$ \angle LCK = \frac{1}{2} \cdot 66^\circ = 33^\circ $

Ответ: $33^\circ$.