Номер 27.10, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.10. По данным рисунков 182, а), б) найдите сумму градусных мер углов $ \alpha $ и $ \beta $.

а) $ m $ — касательная,

$ \angle ABO = 61^\circ $

б) $ n $ — касательная,

$ \angle DCO = 57^\circ $

Рис. 182

а)

Рассмотрим треугольник $ΔABO$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ΔABO$ — равнобедренный с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию $\angle ABO = 61°$, значит, $\angle OAB = \angle ABO = 61°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем величину центрального угла $\angle AOB$, который опирается на дугу $AB$:

$\angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle ABO) = 180° - (61° + 61°) = 180° - 122° = 58°$.

Градусная мера дуги $AB$ равна величине центрального угла, который на нее опирается, то есть дуга $AB = \angle AOB = 58°$.

Угол $\beta$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$\beta = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 58° = 29°$.

Угол $\alpha$ — это угол между касательной $m$ и хордой $AB$, проведенной через точку касания $B$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами. В данном случае это дуга $AB$.

$\alpha = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 58° = 29°$.

Теперь вычислим сумму градусных мер углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \beta = 29° + 29° = 58°$.

Ответ: $58°$.

б)

Рассмотрим треугольник $ΔCDO$. Отрезки $OC$ и $OD$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, следовательно, $OC = OD$. Это означает, что треугольник $ΔCDO$ — равнобедренный с основанием $CD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию $\angle DCO = 57°$, значит, $\angle ODC = \angle DCO = 57°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем величину центрального угла $\angle COD$, который опирается на дугу $CD$:

$\angle COD = 180° - (\angle ODC + \angle DCO) = 180° - (57° + 57°) = 180° - 114° = 66°$.

Градусная мера дуги $CD$ равна величине центрального угла, который на нее опирается, то есть дуга $CD = \angle COD = 66°$.

Угол $\alpha$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $CD$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$\alpha = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot 66° = 33°$.

Угол $\beta$ — это угол между касательной $n$ и хордой $CD$, проведенной через точку касания $D$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами. В данном случае это дуга $CD$.

$\beta = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot 66° = 33°$.

Теперь вычислим сумму градусных мер углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha + \beta = 33° + 33° = 66°$.

Ответ: $66°$.