Номер 27.4, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.4. a) Радиус окружности равен 12 см. Найдите длину хорды, которая стягивает дугу, содержащую $90^\circ$.

б) Длина хорды, которая стягивает дугу, содержащую $60^\circ$, равна 10 см. Найдите радиус данной окружности.

а) Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Пусть $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — концы хорды. Тогда $OA$ и $OB$ — это радиусы, а $AB$ — это хорда. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 12$ см.
Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, равен градусной мере этой дуги, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $AOB$ — равнобедренный и прямоугольный. В этом треугольнике радиусы $OA$ и $OB$ являются катетами, а хорда $AB$ — гипотенузой.
По теореме Пифагора:
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
Пусть длина хорды $AB$ равна $L$. Тогда:
$L^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
$L^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$
$L = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ см.
Ответ: $12\sqrt{2}$ см.

б) Аналогично пункту а), рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$, где $OA = OB = R$ (радиус), а $AB = 10$ см (хорда).
Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги, которую стягивает хорда, то есть $\angle AOB = 60^\circ$.
Мы имеем равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) равен $60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому:
$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Так как все три угла треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним.
В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, длина радиуса равна длине хорды:
$R = OA = OB = AB = 10$ см.
Ответ: $10$ см.