Номер 26.1, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.1. По данным рисунков 177, а), б) найдите расстояние $O_1K$, где $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $M$ — точка касания окружностей, прямая $O_1K$ — касательная к окружности.

а) $O_1M = 3$ см, $O_2M = 4$ см

б) $O_1M = 4$ см, $O_2M = 5$ см

Рис. 177

а) Согласно условию, $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $M$ — точка их касания. Из рисунка 177, а) видно, что окружности касаются внешним образом. Радиус первой окружности $r_1 = O_1M = 3$ см. Радиус второй окружности $r_2 = O_2M = 4$ см.

Когда две окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$ см.

Прямая $O_1K$ является касательной к окружности с центром $O_2$ в точке $K$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $O_2K$ перпендикулярен прямой $O_1K$. Таким образом, треугольник $\triangle O_1KO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle O_1KO_2 = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$:

• Гипотенуза — $O_1O_2 = 7$ см.
• Катет $O_2K$ равен радиусу второй окружности, то есть $O_2K = r_2 = 4$ см.
• Катет $O_1K$ — искомое расстояние.

По теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$. Выразим $O_1K$: $O_1K^2 = O_1O_2^2 - O_2K^2$ $O_1K^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$ $O_1K = \sqrt{33}$ см.

Ответ: $\sqrt{33}$ см.

б) Согласно условию, $O_1M = 4$ см и $O_2M = 5$ см. Из рисунка 177, б) видно, что окружности касаются внутренним образом. Окружность с центром $O_1$ и радиусом $r_1 = O_1M = 4$ см находится внутри окружности с центром $O_2$ и радиусом $r_2 = O_2M = 5$ см.

Когда две окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности их радиусов: $O_1O_2 = r_2 - r_1 = 5 - 4 = 1$ см.

В условии сказано, что прямая $O_1K$ является касательной к окружности (подразумевается окружность с центром $O_2$) в точке $K$. Для того чтобы из точки можно было провести касательную к окружности, эта точка должна лежать вне окружности или на самой окружности.

Найдем расстояние от точки $O_1$ до центра окружности $O_2$. Мы уже вычислили его: $O_1O_2 = 1$ см. Радиус окружности, к которой проводится касательная, равен $r_2 = 5$ см.

Так как расстояние от точки $O_1$ до центра $O_2$ (1 см) меньше, чем радиус этой окружности (5 см), точка $O_1$ находится внутри окружности с центром $O_2$. Из точки, расположенной внутри окружности, невозможно провести к ней касательную (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку, будет являться секущей).

Таким образом, условие задачи для случая б) содержит противоречие и не имеет решения в рамках евклидовой геометрии. Если бы мы попытались применить теорему Пифагора к гипотетическому прямоугольному треугольнику $\triangle O_1KO_2$ (с прямым углом $K$), мы бы получили $O_1K^2 = O_1O_2^2 - O_2K^2 = 1^2 - 5^2 = 1 - 25 = -24$, что невозможно, так как квадрат длины не может быть отрицательным.

Ответ: задача не имеет решения, так как ее условие противоречиво.