Номер 25.2, страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.2. По данным рисунков 173, а), б) найдите величину угла $\alpha$, если прямые $m$ и $n$ — касательные к окружности.

а) $m$

$n$

$O$

$36^\circ$

$\alpha$

б) $m$

$n$

$O$

$44^\circ$

$\alpha$

Рис. 173

a)

Пусть касательные m и n пересекаются в точке P, а точки их касания с окружностью — A и B соответственно. Центр окружности — точка O.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp m$ и $OB \perp n$, а углы ∠OAP и ∠OBP равны по 90°.

Рассмотрим четырехугольник OAPB. Сумма его внутренних углов равна 360°. Поскольку два угла в нем прямые ($∠OAP + ∠OBP = 180°$), то сумма двух других противоположных углов также равна 180°. Эти углы — угол между касательными ∠APB и внутренний центральный угол ∠AOB.

$∠AOB_{внутр.} + ∠APB = 180°$

По условию, $∠APB = 36°$. Вычислим внутренний центральный угол:
$∠AOB_{внутр.} = 180° - 36° = 144°$

На рисунке искомый угол α является внешним (рефлексным) углом, который дополняет внутренний угол до 360°.
$α = 360° - ∠AOB_{внутр.} = 360° - 144° = 216°$

Ответ: $α = 216°$.

b)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством, что сумма угла между двумя касательными, проведенными из одной точки, и внутреннего центрального угла, опирающегося на дугу между точками касания, равна 180°.

На рисунке α — это внутренний центральный угол, а угол между касательными равен 44°.

Следовательно, можем записать уравнение:
$α + 44° = 180°$

Решим его относительно α:
$α = 180° - 44° = 136°$

Ответ: $α = 136°$.