Номер 23.6, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.6. а) В трапеции $ABCD$ основание $BC$ в 4 раза меньше основания $AD$, диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $COD$ равна 12 $\text{см}^2$.

б) В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в 5 раз больше основания $BC$, диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $ABO$, если площадь трапеции равна 108 $\text{см}^2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны, так как $\angle BOC = \angle DOA$ (вертикальные углы) и $\angle BCO = \angle DAO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных сторон, то есть оснований трапеции. По условию, основание $BC$ в 4 раза меньше основания $AD$, следовательно, $k = \frac{AD}{BC} = 4$.

Отношение других соответственных сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = 4$.

В любой трапеции площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. То есть $S_{ABO} = S_{CDO}$. Это свойство следует из того, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (равные высоте трапеции), а значит, их площади равны. Если из обеих площадей вычесть площадь общего для них треугольника $\triangle AOD$, то получим $S_{ABD} - S_{AOD} = S_{ACD} - S_{AOD}$, откуда $S_{ABO} = S_{CDO}$.

По условию, $S_{COD} = 12$ см². Следовательно, $S_{ABO} = 12$ см².

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению оснований, на которые эта высота опускается:

$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{CO} = 4$

Отсюда находим площадь $\triangle AOD$:

$S_{AOD} = 4 \cdot S_{COD} = 4 \cdot 12 = 48$ см².

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle ABO$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{BOC}}{S_{ABO}} = \frac{CO}{AO} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим площадь $\triangle BOC$:

$S_{BOC} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABO} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см².

Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали:

$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO} = 3 + 48 + 12 + 12 = 75$ см².

Ответ: 75 см².

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали пересекаются в точке $O$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам. По условию, основание $AD$ в 5 раз больше основания $BC$, следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{AD}{BC} = 5$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 5^2 = 25$.

Обозначим площадь треугольника $\triangle BOC$ через $x$. Тогда $S_{BOC} = x$, а $S_{AOD} = 25x$.

Как показано в пункте а), площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны: $S_{ABO} = S_{CDO}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle BOC$, имеющие общую высоту из вершины $B$. Отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{CO}$

Из подобия $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ имеем $\frac{AO}{CO} = k = 5$.

Следовательно, $\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = 5$, откуда $S_{ABO} = 5 \cdot S_{BOC} = 5x$.

Так как $S_{ABO} = S_{CDO}$, то и $S_{CDO} = 5x$.

Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO} = x + 25x + 5x + 5x = 36x$.

По условию, площадь трапеции равна 108 см². Составим и решим уравнение:

$36x = 108$

$x = \frac{108}{36} = 3$

Итак, $S_{BOC} = 3$ см².

Требуется найти площадь треугольника $ABO$, которая равна $5x$:

$S_{ABO} = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см².

Ответ: 15 см².