Номер 22.5, страница 109 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.5. а) В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит одну из медиан на отрезки 5 см и 2 см. Найдите площадь треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит одну из медиан на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь треугольника.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты $AC = b$ и $BC = a$. Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2}ab$.

Пусть $CL$ — биссектриса прямого угла $C$ ($L$ лежит на гипотенузе $AB$). Биссектриса делит одну из медиан. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, не может пересекаться с биссектрисой иначе как в вершине $C$ (за исключением случая равнобедренного треугольника, где они совпадают, что не приводит к делению на отрезки). Следовательно, речь идет о медиане, проведенной из острого угла.

Без ограничения общности, рассмотрим медиану $AM$, проведенную из вершины $A$ к середине $M$ стороны $BC$. Точку пересечения биссектрисы $CL$ и медианы $AM$ обозначим $K$.

Длина медианы $AM$ равна сумме длин отрезков: $m_a = AM = 5 + 2 = 7$ см.

Длина медианы $m_a$, проведенной к катету $a$, выражается через длины катетов по формуле:$m_a^2 = AC^2 + CM^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$. Подставив значение длины медианы, получаем уравнение:$7^2 = b^2 + \frac{a^2}{4} \implies 49 = b^2 + \frac{a^2}{4}$. (1)

Для нахождения связи между катетами $a$ и $b$ применим теорему Менелая для треугольника $ABM$ и секущей $LKC$. Точки $L, K, C$ лежат на одной прямой. Точка $L$ лежит на стороне $AB$, точка $K$ — на стороне $AM$, а точка $C$ — на продолжении стороны $BM$. По теореме Менелая:$\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BC}{CM} \cdot \frac{MK}{KA} = 1$.

Рассмотрим каждое отношение в этом уравнении:

• По свойству биссектрисы угла треугольника (для $CL$ в $\triangle ABC$): $\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$.
• Так как $M$ — середина $BC$, то $BC = 2 \cdot CM$. Отсюда $\frac{BC}{CM} = 2$.
• Отношение $\frac{MK}{KA}$ равно $\frac{2}{5}$ или $\frac{5}{2}$.

Подставим эти отношения в уравнение теоремы Менелая:$\frac{b}{a} \cdot 2 \cdot \frac{MK}{KA} = 1 \implies \frac{MK}{KA} = \frac{a}{2b}$.

Теперь рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: $\frac{MK}{KA} = \frac{2}{5}$. В этом случае $\frac{a}{2b} = \frac{2}{5} \implies 5a = 4b \implies a = \frac{4}{5}b$. Подставим это соотношение в уравнение (1):$49 = b^2 + \frac{(\frac{4}{5}b)^2}{4} = b^2 + \frac{16b^2/25}{4} = b^2 + \frac{4b^2}{25} = b^2(1 + \frac{4}{25}) = b^2\frac{29}{25}$.$b^2 = \frac{49 \cdot 25}{29}$. Площадь треугольника:$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{5}b) \cdot b = \frac{2}{5}b^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{49 \cdot 25}{29} = \frac{2 \cdot 49 \cdot 5}{29} = \frac{490}{29}$.

Случай 2: $\frac{MK}{KA} = \frac{5}{2}$. В этом случае $\frac{a}{2b} = \frac{5}{2} \implies a = 5b$. Подставим это соотношение в уравнение (1):$49 = b^2 + \frac{(5b)^2}{4} = b^2 + \frac{25b^2}{4} = b^2(1 + \frac{25}{4}) = b^2\frac{29}{4}$.$b^2 = \frac{49 \cdot 4}{29}$. Площадь треугольника:$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot (5b) \cdot b = \frac{5}{2}b^2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{49 \cdot 4}{29} = \frac{5 \cdot 49 \cdot 2}{29} = \frac{490}{29}$.

В обоих случаях, а также при выборе медианы из другого острого угла, результат для площади будет одинаковым.

Ответ: $S = \frac{490}{29}$ см².

б)

Решение аналогично пункту а). Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, катетами $BC=a$ и $AC=b$.

Биссектриса $CL$ прямого угла делит медиану, проведенную из острого угла (например, $AM$), на отрезки длиной 4 см и 5 см.

Длина медианы $m_a = AM = 4 + 5 = 9$ см.

Уравнение для длины медианы $m_a$:$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2 \implies 9^2 = b^2 + \frac{a^2}{4} \implies 81 = b^2 + \frac{a^2}{4}$. (2)

Как и в пункте а), из теоремы Менелая для $\triangle ABM$ и секущей $LKC$ следует:$\frac{MK}{KA} = \frac{a}{2b}$.

Отношение $\frac{MK}{KA}$ может быть равно $\frac{4}{5}$ или $\frac{5}{4}$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $\frac{MK}{KA} = \frac{4}{5}$. Тогда $\frac{a}{2b} = \frac{4}{5} \implies 5a = 8b \implies a = \frac{8}{5}b$. Подставим в уравнение (2):$81 = b^2 + \frac{(\frac{8}{5}b)^2}{4} = b^2 + \frac{64b^2/25}{4} = b^2 + \frac{16b^2}{25} = b^2(1 + \frac{16}{25}) = b^2\frac{41}{25}$.$b^2 = \frac{81 \cdot 25}{41}$. Площадь треугольника:$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{5}b) \cdot b = \frac{4}{5}b^2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{81 \cdot 25}{41} = \frac{4 \cdot 81 \cdot 5}{41} = \frac{1620}{41}$.

Случай 2: $\frac{MK}{KA} = \frac{5}{4}$. Тогда $\frac{a}{2b} = \frac{5}{4} \implies 4a = 10b \implies a = \frac{5}{2}b$. Подставим в уравнение (2):$81 = b^2 + \frac{(\frac{5}{2}b)^2}{4} = b^2 + \frac{25b^2/4}{4} = b^2 + \frac{25b^2}{16} = b^2(1 + \frac{25}{16}) = b^2\frac{41}{16}$.$b^2 = \frac{81 \cdot 16}{41}$. Площадь треугольника:$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2}b) \cdot b = \frac{5}{4}b^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{81 \cdot 16}{41} = \frac{5 \cdot 81 \cdot 4}{41} = \frac{1620}{41}$.

В обоих случаях результат для площади одинаков.

Ответ: $S = \frac{1620}{41}$ см².