Номер 22.2, страница 108 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.2. a) В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Биссектриса угла $B$ делит высоту $AH$ в отношении $17 : 8$, считая от точки $A$. Найдите длину высоты $AH$, если $AB = 34$ см.

б) В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $A$ делит высоту $BH$ в отношении $13 : 5$, считая от точки $B$. Найдите длину высоты $BH$, если $AB = 26$ см.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Биссектриса угла $B$, назовем ее $BL$, пересекает высоту $AH$ в точке $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABH$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABH$ и биссектрисы $BO$ это свойство записывается как: $$ \frac{AO}{OH} = \frac{AB}{BH} $$

По условию задачи, $AO : OH = 17 : 8$ и $AB = 34$ см. Подставим эти значения в формулу: $$ \frac{17}{8} = \frac{34}{BH} $$

Отсюда найдем длину катета $BH$: $$ BH = \frac{34 \cdot 8}{17} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} $$

Теперь, зная гипотенузу $AB = 34$ см и катет $BH = 16$ см в прямоугольном треугольнике $ABH$, мы можем найти второй катет $AH$ (искомую высоту) по теореме Пифагора: $$ AB^2 = AH^2 + BH^2 $$ $$ AH^2 = AB^2 - BH^2 $$ $$ AH^2 = 34^2 - 16^2 = (34 - 16)(34 + 16) = 18 \cdot 50 = 900 $$ $$ AH = \sqrt{900} = 30 \text{ см} $$

Ответ: 30 см.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $A$, назовем ее $AL$, пересекает высоту $BH$ в точке $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота, $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAH$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABH$ и биссектрисы $AO$ это свойство записывается как: $$ \frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} $$

По условию задачи, $BO : OH = 13 : 5$ и $AB = 26$ см. Подставим эти значения в формулу: $$ \frac{13}{5} = \frac{26}{AH} $$

Отсюда найдем длину катета $AH$: $$ AH = \frac{26 \cdot 5}{13} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} $$

Теперь, зная гипотенузу $AB = 26$ см и катет $AH = 10$ см в прямоугольном треугольнике $ABH$, мы можем найти второй катет $BH$ (искомую высоту) по теореме Пифагора: $$ AB^2 = AH^2 + BH^2 $$ $$ BH^2 = AB^2 - AH^2 $$ $$ BH^2 = 26^2 - 10^2 = (26 - 10)(26 + 10) = 16 \cdot 36 = 576 $$ $$ BH = \sqrt{576} = 24 \text{ см} $$

Ответ: 24 см.