Номер 21.9, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.9. a) В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $BC = 17$ см, а основание $AD = 34$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, причем $OD = 14$ см. Найдите длину $AC$.

б) В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $BC = 11$ см, а основание $AD = 33$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, причем $OC = 8$ см. Найдите длину $BD$.

а) В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ треугольники $BOC$ и $DOA$, образованные пересечением диагоналей, подобны. Это следует из того, что основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а значит, накрест лежащие углы при секущих-диагоналях равны ($\angle CBD = \angle BDA$ и $\angle BCA = \angle CAD$), а углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные.

Из подобия треугольников $BOC$ и $DOA$ следует пропорциональность их сторон:

$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} $

Подставим известные значения оснований, чтобы найти коэффициент подобия:

$ k = \frac{BC}{AD} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2} $

Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны ($AC = BD$), и отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, попарно равны: $AO = DO$ и $BO = CO$.

По условию дано, что $OD = 14$ см. В силу свойства равнобедренной трапеции, $AO = OD = 14$ см.

Теперь, используя коэффициент подобия, найдем длину отрезка $CO$:

$ \frac{CO}{AO} = \frac{1}{2} $

$ CO = AO \cdot \frac{1}{2} = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 $ см.

Длина диагонали $AC$ равна сумме длин ее отрезков $AO$ и $CO$:

$ AC = AO + CO = 14 + 7 = 21 $ см.

Ответ: 21 см.

б) Аналогично пункту а), рассмотрим подобные треугольники $BOC$ и $DOA$ в равнобедренной трапеции $ABCD$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований:

$ k = \frac{BC}{AD} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3} $

Из подобия следует соотношение:

$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{1}{3} $

В равнобедренной трапеции отрезки диагоналей равны: $AO = DO$ и $BO = CO$.

По условию дано, что $OC = 8$ см. Следовательно, $BO = OC = 8$ см.

Используя соотношение сторон, найдем длину отрезка $DO$. Так как $AO = DO$, можем записать:

$ \frac{CO}{DO} = \frac{1}{3} $

$ \frac{8}{DO} = \frac{1}{3} $

$ DO = 8 \cdot 3 = 24 $ см.

Длина диагонали $BD$ равна сумме длин ее отрезков $BO$ и $DO$:

$ BD = BO + DO = 8 + 24 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.