Номер 21.2, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.2. По данным рисунков 166, а), б) найдите периметр треугольника ABC.

а) Изображение а) содержит треугольник $ABC$. Точка $D$ расположена на стороне $BC$, точка $F$ расположена на стороне $AB$. Проведен отрезок $FD$.

Известные длины отрезков: $AC = 12$, $CD = 8$, $DB = 5$, $FB = 10$.

Известные углы: $\angle BAC = 47\gamma$, $\angle AFD = 47\gamma$, $\angle FDB = 47\gamma$.

б) Изображение б) содержит треугольник $ABC$. Точка $D$ расположена на стороне $AB$, точка $F$ расположена на стороне $AC$. Проведен отрезок $FD$.

Известные длины отрезков: $AF = 10$, $FD = 16$, $AB = 12$, $BC = 28$.

Известные углы: $\angle ACB = 54\gamma$, $\angle CFD = 54\gamma$.

Рис. 166

а)

Для нахождения периметра треугольника ABC необходимо найти сумму длин его сторон: $ P_{ABC} = AB + BC + AC $. Из данных на рисунке нам известны: $ AC = 12 $, $ CD = 5 $, $ FB = 10 $ и $ FD = 8 $.

На рисунке указаны два угла, равные $ 47\gamma $: $ \angle CAB $ и угол при вершине F. Хотя дуга формально отмечает угол $ \angle AFD $, для логичного решения задачи предположим, что имелся в виду угол $ \angle DFB $. При таком предположении $ \angle CAB = \angle DFB = 47\gamma $.

Углы $ \angle CAB $ и $ \angle DFB $ являются соответственными при прямых AC и FD и секущей AB. Поскольку эти углы равны, то прямые AC и FD параллельны ($ AC \parallel FD $).

Так как $ AC \parallel FD $, то треугольник FBD подобен треугольнику ABC ($ \triangle FBD \sim \triangle ABC $) по двум углам (угол B — общий, $ \angle DFB = \angle CAB $ как соответственные).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{FB}{AB} = \frac{BD}{BC} = \frac{FD}{AC} $

Используя известные значения $ FD = 8 $ и $ AC = 12 $, найдем коэффициент подобия: $ k = \frac{FD}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $.

Теперь найдем длины сторон AB и BC. Из соотношения $ \frac{FB}{AB} = \frac{2}{3} $ и зная, что $ FB = 10 $, получаем: $ \frac{10}{AB} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot AB = 10 \cdot 3 \implies AB = \frac{30}{2} = 15 $.

Для нахождения BC используем соотношение $ \frac{BD}{BC} = \frac{2}{3} $. Мы знаем, что $ BC = BD + DC = BD + 5 $. $ \frac{BD}{BD + 5} = \frac{2}{3} $ $ 3 \cdot BD = 2 \cdot (BD + 5) $ $ 3 \cdot BD = 2 \cdot BD + 10 $ $ BD = 10 $. Следовательно, $ BC = BD + 5 = 10 + 5 = 15 $.

Теперь, зная все стороны треугольника ABC, вычислим его периметр: $ P_{ABC} = AB + BC + AC = 15 + 15 + 12 = 42 $.

Ответ: 42.

б)

Для нахождения периметра треугольника ABC необходимо найти сумму длин его сторон: $ P_{ABC} = AB + BC + AC $. Из данных на рисунке нам известны: $ AF = 10 $, $ AD = 12 $, $ FD = 16 $, $ BC = 28 $. Также указаны равные углы: $ \angle AFD = \angle ACB = 54\gamma $.

Рассмотрим треугольники AFD и ACB. 1. Угол $ \angle A $ является общим для обоих треугольников ($ \angle FAD = \angle CAB $). 2. По условию $ \angle AFD = \angle ACB $. Следовательно, треугольники AFD и ACB подобны по двум углам ($ \triangle AFD \sim \triangle ACB $).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Сопоставим стороны правильно:

• Сторона напротив общего угла A: FD в $ \triangle AFD $ и BC в $ \triangle ACB $.
• Сторона напротив равных углов $ \angle AFD $ и $ \angle ACB $: AD в $ \triangle AFD $ и AB в $ \triangle ACB $.
• Сторона напротив третьих равных углов $ \angle ADF $ и $ \angle ABC $: AF в $ \triangle AFD $ и AC в $ \triangle ACB $.

Запишем соотношение сторон: $ \frac{FD}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} $.

Используя известные длины $ FD = 16 $ и $ BC = 28 $, найдем коэффициент подобия: $ k = \frac{FD}{BC} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} $.

Теперь найдем неизвестные стороны AB и AC. Из соотношения $ \frac{AD}{AB} = \frac{4}{7} $ и зная, что $ AD = 12 $, получаем: $ \frac{12}{AB} = \frac{4}{7} \implies 4 \cdot AB = 12 \cdot 7 \implies AB = \frac{84}{4} = 21 $.

Из соотношения $ \frac{AF}{AC} = \frac{4}{7} $ и зная, что $ AF = 10 $, получаем: $ \frac{10}{AC} = \frac{4}{7} \implies 4 \cdot AC = 10 \cdot 7 \implies AC = \frac{70}{4} = 17,5 $.

Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC: $ AB = 21 $, $ BC = 28 $, $ AC = 17,5 $. Вычислим его периметр: $ P_{ABC} = AB + BC + AC = 21 + 28 + 17,5 = 66,5 $.

Ответ: 66,5.