Номер 20.2, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.2. Пользуясь данными рисунков 162, а), б) и учитывая, что $a \parallel b \parallel c$, найдите значение суммы $x + y$.

а) б) Рис. 162

а)Поскольку по условию прямые $a, b, c$ параллельны ($a \parallel b \parallel c$), а прямые $d$ и $e$ являются секущими, то согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) образуются подобные треугольники. Пусть точка пересечения секущих $d$ и $e$ будет $O$.
Из подобия треугольников, образованных прямыми $a$ и $b$ и секущими с общей вершиной в точке $O$, следует отношение их сторон:
$\frac{5}{x} = \frac{6}{12}$
Упростим правую часть и найдем $x$:
$\frac{5}{x} = \frac{1}{2}$
$x = 5 \cdot 2 = 10$.
Теперь рассмотрим подобие треугольников, образованных прямыми $b$ и $c$. Длины отрезков от вершины $O$ до прямых $b$ и $c$ соотносятся так же.
Отрезки на прямой $e$: $x$ и $x+3$.
Отрезки на прямой $d$: $12$ и $12+y$.
Составим пропорцию, подставив найденное значение $x=10$:
$\frac{10}{10+3} = \frac{12}{12+y}$
$\frac{10}{13} = \frac{12}{12+y}$
Теперь решим уравнение, используя свойство пропорции:
$10 \cdot (12+y) = 13 \cdot 12$
$120 + 10y = 156$
$10y = 156 - 120$
$10y = 36$
$y = \frac{36}{10} = 3.6$.
Наконец, найдем значение суммы $x+y$:
$x+y = 10 + 3.6 = 13.6$.
Ответ: $13.6$.

б)В этом случае используется тот же принцип. Пусть $O$ — точка пересечения секущих $d$ и $e$. Так как $a \parallel b \parallel c$, образуются три вложенных друг в друга подобных треугольника с общей вершиной $O$.
Рассмотрим подобие треугольников, образованных прямыми $a$ и $b$. Соотношение длин отрезков, отсчитываемых от точки $O$, будет следующим:
$\frac{\text{отрезок на } e \text{ до } a}{\text{отрезок на } e \text{ до } b} = \frac{\text{отрезок на } d \text{ до } a}{\text{отрезок на } d \text{ до } b}$
Длины отрезков от точки $O$ на прямой $e$: $3$ и $3+12=15$.
Длины отрезков от точки $O$ на прямой $d$: $4-y$ и $4$.
$\frac{3}{15} = \frac{4-y}{4}$
$\frac{1}{5} = \frac{4-y}{4}$
$1 \cdot 4 = 5 \cdot (4-y) \implies 4 = 20 - 5y \implies 5y = 16 \implies y = \frac{16}{5} = 3.2$.
Теперь рассмотрим подобие треугольников, образованных прямыми $b$ и $c$.
$\frac{\text{отрезок на } e \text{ до } b}{\text{отрезок на } e \text{ до } c} = \frac{\text{отрезок на } d \text{ до } b}{\text{отрезок на } d \text{ до } c}$
Длины отрезков от точки $O$ на прямой $e$: $15$ и $15+20=35$.
Длины отрезков от точки $O$ на прямой $d$: $4$ и $4+x$.
$\frac{15}{35} = \frac{4}{4+x}$
$\frac{3}{7} = \frac{4}{4+x}$
$3 \cdot (4+x) = 7 \cdot 4 \implies 12+3x = 28 \implies 3x = 16 \implies x = \frac{16}{3}$.
Вычислим сумму $x+y$:
$x+y = \frac{16}{3} + \frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{16 \cdot 3}{15} = \frac{80 + 48}{15} = \frac{128}{15}$.
Ответ: $\frac{128}{15}$.