Номер 20.1, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. По данным рисунков 161, а), б) найдите значение суммы $x + y$.

a)Треугольник ABC имеет стороны 15, $y$, 25.

Треугольник $A_1B_1C_1$ имеет стороны $x$, 5, 6.

б)Треугольник ABC имеет стороны 9, 18, $x$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ имеет стороны $y$, 6, 4.

Рис. 161

а)

По условию задачи треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($△ABC \sim △A_1B_1C_1$). Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Соответствие вершин: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Таким образом, отношение соответствующих сторон будет следующим:

$$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Подставим в это соотношение известные значения длин сторон из рисунка 161 а):
$AC=15$, $BC=25$, $AB=y$
$A_1C_1=x$, $B_1C_1=5$, $A_1B_1=6$

Получаем пропорцию:

$$ \frac{15}{x} = \frac{25}{5} = \frac{y}{6} $$

Из среднего отношения $\frac{25}{5}$ мы можем найти коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{25}{5} = 5$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти неизвестные $x$ и $y$.

Для нахождения $x$ используем первую часть пропорции:

$$ \frac{15}{x} = 5 $$

$$ x = \frac{15}{5} = 3 $$

Для нахождения $y$ используем вторую часть пропорции:

$$ \frac{y}{6} = 5 $$

$$ y = 5 \cdot 6 = 30 $$

Теперь вычислим требуемую сумму $x + y$:

$$ x + y = 3 + 30 = 33 $$

Ответ: 33.

б)

Аналогично, для рисунка 161 б) треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($△ABC \sim △A_1B_1C_1$), и их соответствующие стороны пропорциональны:

$$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Подставим известные значения из рисунка 161 б):
$AC=18$, $BC=x$, $AB=9$
$A_1C_1=6$, $B_1C_1=4$, $A_1B_1=y$

Получаем пропорцию:

$$ \frac{18}{6} = \frac{x}{4} = \frac{9}{y} $$

Из первого отношения $\frac{18}{6}$ мы можем найти коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем неизвестные $x$ и $y$.

Для нахождения $x$ используем первую часть пропорции:

$$ \frac{x}{4} = 3 $$

$$ x = 3 \cdot 4 = 12 $$

Для нахождения $y$ используем вторую часть пропорции:

$$ \frac{9}{y} = 3 $$

$$ y = \frac{9}{3} = 3 $$

Теперь вычислим требуемую сумму $x + y$:

$$ x + y = 12 + 3 = 15 $$

Ответ: 15.