Номер 19.8, страница 102 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.8. a) В трапеции с основаниями 7 см и 34 см боковую сторону разделили на три равных отрезка и через концы отрезков провели прямые, параллельные основаниям. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции.

б) В трапеции с основаниями 8 см и 35 см боковую сторону разделили на три равных отрезка и через концы отрезков провели прямые, параллельные основаниям. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции.

а)

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. В данном случае большее основание $a = 34$ см, а меньшее основание $b = 7$ см. Боковую сторону разделили на три равных отрезка. Через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Обозначим длины этих отрезков внутри трапеции как $l_1$ и $l_2$, где $l_1$ — отрезок, ближайший к меньшему основанию $b$, а $l_2$ — отрезок, ближайший к большему основанию $a$.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование обобщенной теоремы Фалеса

Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего боковую сторону в отношении $m:n$ (считая от большего основания $a$), вычисляется по формуле:$l = \frac{n \cdot a + m \cdot b}{m+n}$

В нашей задаче боковая сторона разделена на три равные части, поэтому мы имеем два отрезка.

1. Для отрезка $l_2$, который ближе к основанию $a=34$, отношение отрезков боковой стороны, на которые его делит точка, составляет $1:2$ (одна часть от вершины при основании $a$, две части до вершины при основании $b$). То есть $m=1$, $n=2$. Подставим значения в формулу:$l_2 = \frac{2 \cdot a + 1 \cdot b}{1+2} = \frac{2a + b}{3}$$l_2 = \frac{2 \cdot 34 + 7}{3} = \frac{68 + 7}{3} = \frac{75}{3} = 25$ см.

2. Для отрезка $l_1$, который ближе к основанию $b=7$, отношение отрезков боковой стороны составляет $2:1$. То есть $m=2$, $n=1$. Подставим значения в формулу:$l_1 = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{2+1} = \frac{a + 2b}{3}$$l_1 = \frac{34 + 2 \cdot 7}{3} = \frac{34 + 14}{3} = \frac{48}{3} = 16$ см.

Способ 2: Использование свойства арифметической прогрессии

Длины оснований и параллельных им отрезков, делящих боковые стороны на равные части, образуют арифметическую прогрессию. В нашем случае имеем 4 члена прогрессии: $b, l_1, l_2, a$. Первый член $u_1 = b = 7$. Четвертый член $u_4 = a = 34$. Разность прогрессии $d$ можно найти из формулы $n$-го члена $u_n = u_1 + (n-1)d$:$u_4 = u_1 + 3d$$34 = 7 + 3d$$3d = 34 - 7 = 27$$d = 27 / 3 = 9$.

Теперь найдем длины искомых отрезков:$l_1 = u_2 = u_1 + d = 7 + 9 = 16$ см.$l_2 = u_3 = u_1 + 2d = 7 + 2 \cdot 9 = 7 + 18 = 25$ см. Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 16 см и 25 см.

б)

Аналогично пункту а), решим задачу для трапеции с основаниями $a = 35$ см и $b = 8$ см. Боковая сторона также разделена на три равных отрезка. Найдем длины отрезков $l_1$ и $l_2$, проведенных параллельно основаниям.

Воспользуемся методом арифметической прогрессии, так как он более быстрый и наглядный в данном случае. Длины оснований и параллельных им отрезков ($b, l_1, l_2, a$) образуют арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии $u_1 = b = 8$. Четвертый член $u_4 = a = 35$. Боковая сторона делится на 3 равных отрезка, поэтому всего в прогрессии 4 члена (два основания и два промежуточных отрезка). Найдем разность прогрессии $d$:$u_4 = u_1 + 3d$$35 = 8 + 3d$$3d = 35 - 8 = 27$$d = 27 / 3 = 9$.

Теперь вычислим длины искомых отрезков:$l_1$ (отрезок, ближайший к основанию 8 см): $l_1 = u_2 = u_1 + d = 8 + 9 = 17$ см.$l_2$ (отрезок, ближайший к основанию 35 см): $l_2 = u_3 = u_1 + 2d = 8 + 2 \cdot 9 = 8 + 18 = 26$ см.

Проверим результат с помощью формул из первого способа:$l_1 = \frac{a + 2b}{3} = \frac{35 + 2 \cdot 8}{3} = \frac{35 + 16}{3} = \frac{51}{3} = 17$ см.$l_2 = \frac{2a + b}{3} = \frac{2 \cdot 35 + 8}{3} = \frac{70 + 8}{3} = \frac{78}{3} = 26$ см. Результаты совпадают.

Ответ: 17 см и 26 см.