Номер 20.3, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.3. a) На рисунке 163 $CD \parallel BE$, $MB = 20$ см, $BE = 16$ см, $CD = 12$ см.
Найдите длину отрезка $CB$.

б) На рисунке 164 $AC \parallel DE$, $AC = 6$ см, $FD = 48$ см, $DE = 36$ см.
Найдите длину отрезка $AD$.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle MCD $ и $ \triangle MBE $, изображенные на рисунке 163.

Поскольку по условию прямые $ CD $ и $ BE $ параллельны ($ CD \parallel BE $), мы можем использовать свойство подобных треугольников. Треугольники $ \triangle MCD $ и $ \triangle MBE $ подобны, так как:

1. $ \angle M $ — общий угол для обоих треугольников.

2. $ \angle MCD = \angle MBE $ как соответственные углы при параллельных прямых $ CD $ и $ BE $ и секущей $ MB $.

Следовательно, $ \triangle MCD \sim \triangle MBE $ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{MC}{MB} = \frac{MD}{ME} = \frac{CD}{BE} $

Используем отношение сторон, для которых известны значения: $ MB = 20 $ см, $ BE = 16 $ см, $ CD = 12 $ см.

$ \frac{MC}{MB} = \frac{CD}{BE} $

Подставим известные значения в пропорцию:

$ \frac{MC}{20} = \frac{12}{16} $

Выразим и найдем длину отрезка $ MC $:

$ MC = 20 \cdot \frac{12}{16} = 20 \cdot \frac{3}{4} = 15 $ см.

Длина отрезка $ CB $ является разностью длин отрезков $ MB $ и $ MC $:

$ CB = MB - MC = 20 - 15 = 5 $ см.

Ответ: $5$ см.

б)

Рассмотрим треугольники $ \triangle FAC $ и $ \triangle FDE $, изображенные на рисунке 164.

По условию прямые $ AC $ и $ DE $ параллельны ($ AC \parallel DE $). Это значит, что $ \triangle FAC $ и $ \triangle FDE $ подобны. Докажем это:

1. $ \angle F $ — общий угол для обоих треугольников.

2. $ \angle FAC = \angle FDE $ как соответственные углы при параллельных прямых $ AC $ и $ DE $ и секущей $ FD $.

Следовательно, $ \triangle FAC \sim \triangle FDE $ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{FA}{FD} = \frac{FC}{FE} = \frac{AC}{DE} $

Используем отношение сторон, для которых известны значения: $ AC = 6 $ см, $ FD = 48 $ см, $ DE = 36 $ см.

$ \frac{FA}{FD} = \frac{AC}{DE} $

Подставим известные значения в пропорцию:

$ \frac{FA}{48} = \frac{6}{36} $

Выразим и найдем длину отрезка $ FA $:

$ FA = 48 \cdot \frac{6}{36} = 48 \cdot \frac{1}{6} = 8 $ см.

Длина отрезка $ AD $ является разностью длин отрезков $ FD $ и $ FA $:

$ AD = FD - FA = 48 - 8 = 40 $ см.

Ответ: $40$ см.