Номер 20.5, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.5. а) Даны два подобных равнобедренных треугольника. Две стороны одного из них равны 5 см и 10 см, а периметр второго — 75 см. Найдите длину основания второго треугольника.

б) Даны два подобных равнобедренных треугольника. Две стороны одного из них равны 7 см и 14 см, а периметр второго — 70 см. Найдите длину основания второго треугольника.

а)

1. Сначала определим стороны первого равнобедренного треугольника. По условию, две его стороны равны 5 см и 10 см. Так как треугольник равнобедренный, две из трех его сторон должны быть равны. Рассмотрим два возможных случая:

• Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 10 см. В этом случае боковые стороны равны 5 см, а основание — 10 см. Проверим, может ли такой треугольник существовать, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Здесь $5 + 5 = 10$, что не больше 10. Следовательно, такой треугольник не существует.
• Стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 5 см. В этом случае боковые стороны равны 10 см, а основание — 5 см. Проверим неравенство треугольника: $10 + 10 > 5$ (верно) и $10 + 5 > 10$ (верно). Такой треугольник существует.

Таким образом, стороны первого треугольника — 10 см, 10 см и 5 см. Его основание равно 5 см.

2. Найдем периметр первого треугольника ($P_1$):
$P_1 = 10 + 10 + 5 = 25$ см.

3. Треугольники подобны, значит, отношение их периметров равно коэффициенту подобия $k$. Периметр второго треугольника ($P_2$) по условию равен 75 см. $k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{75}{25} = 3$.

4. Длины соответствующих сторон подобных треугольников относятся как коэффициент подобия. Найдем длину основания второго треугольника, умножив длину основания первого треугольника на коэффициент подобия $k$:
Длина основания второго треугольника = $5 \text{ см} \times 3 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

б)

1. Аналогично пункту а), определим стороны первого равнобедренного треугольника. Две его стороны равны 7 см и 14 см. Рассмотрим два случая:

• Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 14 см. Проверим неравенство треугольника: $7 + 7 = 14$. Сумма двух сторон не больше третьей, значит, такой треугольник не существует.
• Стороны треугольника равны 14 см, 14 см и 7 см. В этом случае боковые стороны равны 14 см, а основание — 7 см. Проверим неравенство треугольника: $14 + 14 > 7$ (верно) и $14 + 7 > 14$ (верно). Такой треугольник существует.

Итак, стороны первого треугольника — 14 см, 14 см и 7 см, а его основание равно 7 см.

2. Найдем периметр первого треугольника ($P_1$):
$P_1 = 14 + 14 + 7 = 35$ см.

3. Найдем коэффициент подобия $k$. Периметр второго треугольника ($P_2$) по условию равен 70 см.
$k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{70}{35} = 2$.

4. Найдем длину основания второго треугольника, умножив длину основания первого треугольника на коэффициент подобия $k$:
Длина основания второго треугольника = $7 \text{ см} \times 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.