Номер 20.7, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.7. а) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 2$ см и $AD = 8$ см найдите длину диагонали $AC$, если известно, что эта диагональ делит трапецию на два подобных треугольника.

б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 3$ см и $AD = 27$ см найдите длину диагонали $BD$, если известно, что эта диагональ делит трапецию на два подобных треугольника.

а)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC = 2$ см и $AD = 8$ см. Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию, эти треугольники подобны.

Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Это равенство углов является ключом к определению правильного соответствия вершин в подобных треугольниках. Углу при вершине $C$ в треугольнике $\triangle ABC$ ($\angle BCA$) должен соответствовать равный ему угол при вершине $A$ в треугольнике $\triangle ADC$ ($\angle CAD$). Это означает, что при установлении подобия вершина $C$ первого треугольника соответствует вершине $A$ второго.

Рассмотрим подобие $\triangle ABC \sim \triangle DCA$. При таком подобии должны быть равны следующие углы:

• $\angle BAC = \angle ADC$
• $\angle ABC = \angle DCA$
• $\angle BCA = \angle CAD$

Третье равенство, как мы уже показали, верно, поэтому данное соответствие вершин является допустимым.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует, что их стороны пропорциональны:$$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{AB}{DC} $$

Рассмотрим первую часть этого соотношения:$$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} $$

Из этой пропорции можно выразить квадрат длины диагонали $AC$:$$ AC^2 = BC \cdot AD $$

Подставим известные значения длин оснований $BC$ и $AD$:$$ AC^2 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (см}^2\text{)} $$

Теперь найдем длину диагонали $AC$, извлекая квадратный корень:$$ AC = \sqrt{16} = 4 \text{ (см)} $$

Ответ: 4 см.

б)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 3$ см и $AD = 27$ см. Диагональ $BD$ делит её на два подобных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а $BD$ — секущая, то накрест лежащие углы при этой секущей равны: $\angle CBD = \angle ADB$.

Это равенство углов определяет соответствие вершин в подобных треугольниках. Углу при вершине $B$ в треугольнике $\triangle BCD$ ($\angle CBD$) должен соответствовать равный ему угол при вершине $D$ в треугольнике $\triangle ABD$ ($\angle ADB$).

Таким образом, рассмотрим подобие $\triangle BCD \sim \triangle DBA$. При таком подобии должны быть равны следующие углы:

• $\angle BCD = \angle DBA \text{ (то есть } \angle ABD\text{)}$
• $\angle CBD = \angle ADB$
• $\angle CDB = \angle DAB \text{ (то есть } \angle BAD\text{)}$

Второе равенство является верным для трапеции, поэтому такое соответствие вершин возможно.

Из подобия треугольников $\triangle BCD \sim \triangle DBA$ следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{BC}{DB} = \frac{BD}{DA} = \frac{CD}{BA} $$

Возьмем первую часть этого соотношения:$$ \frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} $$

Отсюда получаем выражение для квадрата длины диагонали $BD$:$$ BD^2 = BC \cdot AD $$

Подставим известные значения длин оснований:$$ BD^2 = 3 \cdot 27 = 81 \text{ (см}^2\text{)} $$

Найдем длину диагонали $BD$:$$ BD = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)} $$

Ответ: 9 см.