Номер 21.6, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.6. a) В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки 18 см и 32 см. Найдите площадь треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки 8 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

а) Для нахождения площади прямоугольного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$, где $c$ — гипотенуза, а $h$ — высота, проведенная к гипотенузе.
Высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Обозначим эти отрезки $c_1 = 18$ см и $c_2 = 32$ см.
Найдем высоту $h$:
$h = \sqrt{c_1 \cdot c_2} = \sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{576} = 24$ см.
Теперь найдем длину гипотенузы $c$:
$c = c_1 + c_2 = 18 + 32 = 50$ см.
Теперь можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см².
Ответ: 600 см².

б) Аналогично пункту а), найдем высоту и гипотенузу, чтобы вычислить площадь.
Даны отрезки, на которые высота делит гипотенузу: $c_1 = 8$ см и $c_2 = 18$ см.
Найдем высоту $h$ как среднее геометрическое этих отрезков:
$h = \sqrt{c_1 \cdot c_2} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$ см.
Найдем длину гипотенузы $c$, сложив длины отрезков:
$c = c_1 + c_2 = 8 + 18 = 26$ см.
Вычислим площадь треугольника по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см².
Ответ: 156 см².