Номер 21.10, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.10. а) В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ делится точкой $K$ в отношении $BK : BM = 2 : 3$. Площадь треугольника $AKB$ равна $30 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

б) В треугольнике $ABC$ медиана $CN$ делится точкой $P$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $C$. Площадь треугольника $BPN$ равна $12 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

а)

Рассмотрим треугольники $AKB$ и $ABM$. У этих треугольников общая вершина $A$, а их основания $BK$ и $BM$ лежат на одной прямой. Если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований. Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к прямой $BM$.

Площадь треугольника $AKB$ равна $S_{\triangle AKB} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h$.

Площадь треугольника $ABM$ равна $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h$.

Найдем отношение их площадей: $$ \frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle ABM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h} = \frac{BK}{BM} $$

По условию задачи $BK : BM = 2 : 3$, следовательно, $\frac{BK}{BM} = \frac{2}{3}$.

Подставим известные значения в формулу отношения площадей: $$ \frac{30}{S_{\triangle ABM}} = \frac{2}{3} $$

Отсюда найдем площадь треугольника $ABM$: $$ S_{\triangle ABM} = \frac{30 \cdot 3}{2} = 45 \text{ см}^2 $$

По условию, $BM$ является медианой треугольника $ABC$. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих). Таким образом: $$ S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} $$

Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза больше площади треугольника $ABM$: $$ S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle ABM} = 2 \cdot 45 = 90 \text{ см}^2 $$

Ответ: 90 см².

б)

Рассмотрим треугольники $BPN$ и $BPC$. У них общая вершина $B$, а их основания $PN$ и $PC$ лежат на одной прямой $CN$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. Проведем высоту $h$ из вершины $B$ к прямой $CN$.

Отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{\triangle BPN}}{S_{\triangle BPC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot PN \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot PC \cdot h} = \frac{PN}{PC} $$

По условию задачи медиана $CN$ делится точкой $P$ в отношении $2 : 3$, считая от вершины $C$. Это означает, что $CP : PN = 2 : 3$, откуда $\frac{PN}{PC} = \frac{3}{2}$.

Подставим известные значения в формулу отношения площадей: $$ \frac{12}{S_{\triangle BPC}} = \frac{3}{2} $$

Найдем площадь треугольника $BPC$: $$ S_{\triangle BPC} = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8 \text{ см}^2 $$

Площадь треугольника $BNC$ складывается из площадей треугольников $BPN$ и $BPC$: $$ S_{\triangle BNC} = S_{\triangle BPN} + S_{\triangle BPC} = 12 + 8 = 20 \text{ см}^2 $$

По условию, $CN$ является медианой треугольника $ABC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: $$ S_{\triangle ANC} = S_{\triangle BNC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} $$

Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза больше площади треугольника $BNC$: $$ S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle BNC} = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}^2 $$

Ответ: 40 см².