Номер 21.12, страница 107 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.12. a) В треугольник с основанием 10 см и высотой 8 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите периметр этого прямоугольника.

б) В треугольник с основанием 20 см и высотой 10 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите периметр этого прямоугольника.

а) Пусть дан треугольник с основанием $b=10$ см и высотой $h=8$ см. В него вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Обозначим стороны этого прямоугольника как $x$ (ширина, параллельная основанию треугольника) и $y$ (высота).

Рассмотрим треугольник, образованный верхней стороной прямоугольника и боковыми сторонами исходного треугольника. Этот малый треугольник подобен исходному. Его основание равно $x$, а высота равна $h-y$.

Из подобия треугольников следует соотношение их высот и оснований:
$\frac{x}{b} = \frac{h-y}{h}$
Выразим отсюда ширину прямоугольника $x$ через его высоту $y$:
$x = b \cdot \frac{h-y}{h} = b(1 - \frac{y}{h})$

Площадь вписанного прямоугольника $S$ является функцией от $y$:
$S(y) = x \cdot y = b(1 - \frac{y}{h})y = by - \frac{b}{h}y^2$

Эта функция является квадратичной параболой, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $y^2$ отрицательный: $-\frac{b}{h} < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине. Координата $y$ вершины параболы $f(y) = ay^2+cy+d$ находится по формуле $y_0 = -\frac{c}{2a}$.

В нашем случае $a = -\frac{b}{h}$ и $c = b$. Найдем высоту $y$, при которой площадь максимальна:
$y = -\frac{b}{2(-\frac{b}{h})} = \frac{b h}{2 b} = \frac{h}{2}$
Таким образом, высота прямоугольника наибольшей площади равна половине высоты треугольника.

Теперь найдем ширину $x$ этого прямоугольника:
$x = b(1 - \frac{y}{h}) = b(1 - \frac{h/2}{h}) = b(1 - \frac{1}{2}) = \frac{b}{2}$
Ширина прямоугольника наибольшей площади равна половине основания треугольника.

Подставим данные из условия задачи: $b = 10$ см и $h = 8$ см.
$x = \frac{10}{2} = 5$ см
$y = \frac{8}{2} = 4$ см

Периметр этого прямоугольника равен:
$P = 2(x+y) = 2(5+4) = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

б) Воспользуемся общим выводом, сделанным в пункте а): прямоугольник, вписанный в треугольник, имеет наибольшую площадь, когда его стороны равны половине основания и половине высоты треугольника ($x = b/2$, $y = h/2$).

По условию, основание треугольника $b = 20$ см, а высота $h = 10$ см.
Найдем стороны прямоугольника:
$x = \frac{b}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см
$y = \frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Теперь найдем периметр этого прямоугольника:
$P = 2(x+y) = 2(10+5) = 2 \cdot 15 = 30$ см.
Ответ: 30 см.