Номер 23.1, страница 109 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. По данным рисунков 171, а), б) найдите значение суммы $x + y$.

а) $B$

$15$

$S = 27$

$A$

$y$

$C$

$B_1$

$x$

$S = 3$

$A_1$

$4$

$C_1$

б) $B$

$14$

$S = 36$

$A$

$x$

$C$

$B_1$

$y$

$S = 9$

$A_1$

$6$

$C_1$

Рис. 171

а)

По условию задачи треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Одно из ключевых свойств подобных треугольников заключается в том, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$.

$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 $

Используя данные из рисунка 171, а), где площадь $ S_{ABC} = 27 $, а площадь $ S_{A_1B_1C_1} = 3 $, найдем коэффициент подобия:

$ k^2 = \frac{27}{3} = 9 $

Поскольку коэффициент подобия является отношением длин сторон, он должен быть положительным числом. Следовательно:

$ k = \sqrt{9} = 3 $

Другое важное свойство подобных треугольников состоит в том, что отношение длин их соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Из условия подобия $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что стороне $ AB $ соответствует сторона $ A_1B_1 $, а стороне $ AC $ соответствует сторона $ A_1C_1 $.

$ \frac{AB}{A_1B_1} = k \quad \text{и} \quad \frac{AC}{A_1C_1} = k $

Подставим известные значения сторон: $ AB = 15 $, $ A_1B_1 = x $, $ AC = y $ и $ A_1C_1 = 4 $.

Для сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $:

$ \frac{15}{x} = 3 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{3} = 5 $

Для сторон $ AC $ и $ A_1C_1 $:

$ \frac{y}{4} = 3 \Rightarrow y = 3 \cdot 4 = 12 $

Теперь, когда мы нашли значения $x$ и $y$, вычислим их сумму:

$ x + y = 5 + 12 = 17 $

Ответ: 17.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Найдем коэффициент подобия $k$ через отношение их площадей.

По данным рисунка 171, б), площадь $ S_{ABC} = 36 $, а площадь $ S_{A_1B_1C_1} = 9 $.

$ k^2 = \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{36}{9} = 4 $

Находим положительное значение коэффициента подобия:

$ k = \sqrt{4} = 2 $

Отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Стороне $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $ соответствует сторона $ A_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $, а стороне $ BC $ соответствует сторона $ B_1C_1 $.

$ \frac{AC}{A_1C_1} = k \quad \text{и} \quad \frac{BC}{B_1C_1} = k $

Подставим известные значения сторон: $ AC = x $, $ A_1C_1 = 6 $, $ BC = 14 $ и $ B_1C_1 = y $.

Для сторон $ AC $ и $ A_1C_1 $:

$ \frac{x}{6} = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot 6 = 12 $

Для сторон $ BC $ и $ B_1C_1 $:

$ \frac{14}{y} = 2 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = \frac{14}{2} = 7 $

Теперь вычислим сумму найденных значений $x$ и $y$:

$ x + y = 12 + 7 = 19 $

Ответ: 19.