Номер 23.4, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.4. a) Площади двух подобных треугольников относятся как 9 : 4. Периметр меньшего треугольника равен 72 см. Найдите периметр большего треугольника.

б) Площади двух подобных треугольников относятся как 16 : 9. Периметр большего треугольника равен 144 см. Найдите периметр меньшего треугольника.

а)

Обозначим площади подобных треугольников как $S_1$ и $S_2$, а их периметры как $P_1$ и $P_2$. Пусть $S_1$ и $P_1$ относятся к большему треугольнику, а $S_2$ и $P_2$ — к меньшему.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k$):

$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

По условию задачи, отношение площадей составляет 9:4:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{4}$

Отсюда мы можем найти коэффициент подобия:

$k^2 = \frac{9}{4} \implies k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\frac{P_1}{P_2} = k$

Нам известен периметр меньшего треугольника $P_2 = 72$ см. Подставим известные значения, чтобы найти периметр большего треугольника $P_1$:

$\frac{P_1}{72} = \frac{3}{2}$

$P_1 = 72 \cdot \frac{3}{2} = 36 \cdot 3 = 108$ см.

Ответ: 108 см.

б)

Аналогично пункту а), используем соотношения для площадей и периметров подобных треугольников. Пусть $S_1$ и $P_1$ — площадь и периметр большего треугольника, а $S_2$ и $P_2$ — меньшего.

Отношение площадей по условию равно 16:9:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{16}{9}$

Найдем коэффициент подобия $k$:

$k^2 = \frac{16}{9} \implies k = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$

Отношение периметров равно коэффициенту подобия:

$\frac{P_1}{P_2} = k$

Нам известен периметр большего треугольника $P_1 = 144$ см. Подставим известные значения, чтобы найти периметр меньшего треугольника $P_2$:

$\frac{144}{P_2} = \frac{4}{3}$

Выразим $P_2$:

$P_2 = \frac{144 \cdot 3}{4} = 36 \cdot 3 = 108$ см.

Ответ: 108 см.