Номер 24.3, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.3. a) В трапеции $ABCD$ $AD$ и $BC$ — основания, $O$ — точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника $AOD$ равна $288\text{ см}^2$, $BC : AD = 3 : 4$. Найдите площадь трапеции.

б) В трапеции $ABCD$ $AD$ и $BC$ — основания, $O$ — точка пересечения диагоналей. Площадь треугольника $BOC$ равна $200\text{ см}^2$, $BC : AD = 2 : 5$. Найдите площадь трапеции.

а)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. Они подобны, так как:

• $\angle BOC = \angle AOD$ (как вертикальные углы).
• $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам.

2. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон (оснований трапеции): $k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}$.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.

4. По условию, площадь треугольника $AOD$ равна $S_{AOD} = 288$ см$^2$. Найдем площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = S_{AOD} \cdot \frac{9}{16} = 288 \cdot \frac{9}{16} = 18 \cdot 9 = 162$ см$^2$.

5. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (равные высоте трапеции), поэтому их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$. Так как $S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$ и $S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}$, то отсюда следует, что $S_{AOB} = S_{COD}$.

6. Для площадей треугольников, образованных пересечением диагоналей трапеции, справедливо равенство $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{AOD} \cdot S_{BOC}$. Поскольку $S_{AOB} = S_{COD}$, имеем: $(S_{AOB})^2 = S_{AOD} \cdot S_{BOC} = 288 \cdot 162 = 46656$. $S_{AOB} = \sqrt{46656} = 216$ см$^2$. Значит, $S_{COD} = 216$ см$^2$.

7. Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD} = 288 + 162 + 216 + 216 = 882$ см$^2$.

Ответ: 882 см$^2$.

б)

1. Как и в предыдущей задаче, в трапеции $ABCD$ треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны.

2. Коэффициент подобия $k$ по условию равен: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$.

3. Отношение площадей этих треугольников: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.

4. По условию, $S_{BOC} = 200$ см$^2$. Найдем площадь треугольника $AOD$: $S_{AOD} = \frac{S_{BOC}}{k^2} = \frac{200}{4/25} = 200 \cdot \frac{25}{4} = 50 \cdot 25 = 1250$ см$^2$.

5. Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны ($S_{AOB} = S_{COD}$) и находятся из соотношения: $(S_{AOB})^2 = S_{AOD} \cdot S_{BOC} = 1250 \cdot 200 = 250000$. $S_{AOB} = \sqrt{250000} = 500$ см$^2$. Следовательно, $S_{COD} = 500$ см$^2$.

6. Найдем площадь всей трапеции как сумму площадей четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD} = 1250 + 200 + 500 + 500 = 2450$ см$^2$.

Ответ: 2450 см$^2$.