Номер 25.7, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.7. a) Окружности радиусами 3 см и 5 см лежат в разных полуплоскостях от прямой $l$ и касаются этой прямой. Отрезок, соединяющий центры окружностей, пересекает прямую $l$ под углом $30^\circ$. Найдите расстояние между центрами окружностей.

б) Окружности радиусами 7 см и 9 см лежат в разных полуплоскостях от прямой $m$ и касаются этой прямой. Отрезок, соединяющий центры окружностей, пересекает прямую $m$ под углом $30^\circ$. Найдите расстояние между точками касания.

а)

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1 = 3$ см и $r_2 = 5$ см — их радиусы. Пусть прямая $l$ является касательной к обеим окружностям. Поскольку окружности лежат в разных полуплоскостях от прямой $l$, их центры находятся по разные стороны от этой прямой.

Проведем из центров $O_1$ и $O_2$ перпендикуляры к прямой $l$. Пусть $H_1$ и $H_2$ — основания этих перпендикуляров на прямой $l$. Так как прямая $l$ касается окружностей, точки $H_1$ и $H_2$ являются точками касания, а длины перпендикуляров равны радиусам: $O_1H_1 = r_1 = 3$ см и $O_2H_2 = r_2 = 5$ см.

Для нахождения расстояния между центрами $O_1O_2$ построим прямоугольный треугольник. Проведем через центр $O_1$ прямую, параллельную $l$. Пусть эта прямая пересекает продолжение отрезка $O_2H_2$ в точке $K$. В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$ гипотенузой является искомое расстояние $O_1O_2$. Один катет, $O_1K$, равен расстоянию между точками касания $H_1H_2$. Другой катет, $O_2K$, равен сумме длин перпендикуляров от центров до прямой $l$, так как центры находятся по разные стороны от прямой: $O_2K = O_2H_2 + H_2K = O_2H_2 + O_1H_1 = r_2 + r_1 = 5 + 3 = 8$ см.

Угол между отрезком $O_1O_2$ и прямой $l$ по условию равен $30^\circ$. Поскольку прямая $O_1K$ параллельна прямой $l$, угол между $O_1O_2$ и $O_1K$ также равен $30^\circ$, то есть $\angle KO_1O_2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$ отношение противолежащего катета $O_2K$ к гипотенузе $O_1O_2$ равно синусу угла $\angle KO_1O_2$:

$$ \sin(\angle KO_1O_2) = \frac{O_2K}{O_1O_2} $$

Подставляем известные значения:

$$ \sin(30^\circ) = \frac{r_1 + r_2}{O_1O_2} = \frac{8}{O_1O_2} $$

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$$ \frac{1}{2} = \frac{8}{O_1O_2} $$

Отсюда находим расстояние между центрами $O_1O_2$:

$$ O_1O_2 = 8 \times 2 = 16 \text{ см} $$

Ответ: 16 см.

б)

Аналогично пункту а), пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1 = 7$ см и $r_2 = 9$ см — их радиусы. Окружности касаются прямой $m$ в точках $T_1$ и $T_2$ и лежат в разных полуплоскостях от нее. Требуется найти расстояние между точками касания, то есть длину отрезка $T_1T_2$.

Проведем из центров $O_1$ и $O_2$ перпендикуляры к прямой $m$. Их основаниями являются точки касания $T_1$ и $T_2$. Длины этих перпендикуляров равны радиусам: $O_1T_1 = r_1 = 7$ см и $O_2T_2 = r_2 = 9$ см.

Рассмотрим ту же геометрическую конструкцию, что и в пункте а). Проведем через $O_1$ прямую, параллельную прямой $m$, и пусть она пересекает продолжение отрезка $O_2T_2$ в точке $K$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$ катет $O_1K$ по построению равен искомому расстоянию между точками касания $T_1T_2$. Другой катет, $O_2K$, равен сумме радиусов: $O_2K = O_2T_2 + T_2K = O_2T_2 + O_1T_1 = r_2 + r_1 = 9 + 7 = 16$ см. Угол $\angle KO_1O_2$ равен углу между отрезком $O_1O_2$ и прямой $m$, то есть $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1KO_2$ тангенс угла $\angle KO_1O_2$ равен отношению противолежащего катета $O_2K$ к прилежащему катету $O_1K$:

$$ \tan(\angle KO_1O_2) = \frac{O_2K}{O_1K} $$

Подставляя известные значения, получаем:

$$ \tan(30^\circ) = \frac{r_1 + r_2}{T_1T_2} = \frac{16}{T_1T_2} $$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{T_1T_2} $$

Отсюда находим расстояние между точками касания $T_1T_2$:

$$ T_1T_2 = 16 \times \sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см} $$

Ответ: $16\sqrt{3}$ см.