Номер 25.6, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.6. Прямая AB — касательная к окружности. По данным рисунков 175, а), б) найдите величину угла $ \alpha $.

а) O, B, A, $ \alpha $, $ 26^\circ $

б) O, B, A, $ \alpha $, $ 38^\circ $

Рис. 175

а)

Пусть O — центр окружности. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность в двух точках и проходит через центр O. Назовем эти точки C и D так, что D является вершиной угла $\alpha$. Таким образом, CD — диаметр окружности, а угол $\alpha$ — это $\angle BDC$.

Прямая AB является касательной к окружности в точке B, а OB — радиус, проведенный в точку касания. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания, следовательно, $\angle OBA = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$. Нам известен угол $\angle OAB = 26^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle OBA - \angle OAB = 180^\circ - 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$.

Точки A, O, D лежат на одной прямой, причем O находится между C и D, а C — между A и O. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOD$ являются смежными, так как их стороны OA и OD лежат на одной прямой AD. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OBD$. Стороны OB и OD являются радиусами окружности, поэтому $OB = OD$. Следовательно, $\triangle OBD$ — равнобедренный треугольник с основанием BD. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBD = \angle ODB$.

По условию, $\angle ODB$ — это искомый угол $\alpha$. Таким образом, $\angle ODB = \angle OBD = \alpha$. Сумма углов в треугольнике $\triangle OBD$ равна $180^\circ$ :
$\angle ODB + \angle OBD + \angle BOD = 180^\circ$
$\alpha + \alpha + 116^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 116^\circ$
$2\alpha = 64^\circ$
$\alpha = 32^\circ$

Ответ: $32^\circ$

б)

Пусть секущая, проведенная из точки A, пересекает окружность в точках C и D, причем C находится между A и D. Угол, который нам нужно найти, это $\alpha = \angle BDC$. Данный угол $\angle A = 38^\circ$.

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, а также равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Применим эту теорему к хорде BC. Угол между касательной AB и хордой BC равен вписанному углу $\angle BDC$, который опирается на дугу BC. Следовательно, $\angle ABC = \angle BDC = \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Точки A, C, D лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle BCA$ и $\angle BCD$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BCA = 180^\circ - \angle BCD$.

Подставим известные нам соотношения в формулу суммы углов треугольника $\triangle ABC$:
$38^\circ + \alpha + (180^\circ - \angle BCD) = 180^\circ$
$38^\circ + \alpha - \angle BCD = 0$
$\angle BCD = \alpha + 38^\circ$.

Применим теорему об угле между касательной и хордой еще раз, но теперь для хорды BD. Угол между касательной AB и хордой BD, то есть $\angle ABD$, равен вписанному углу $\angle BCD$. Следовательно, $\angle ABD = \angle BCD$. Из предыдущего шага мы знаем, что $\angle BCD = \alpha + 38^\circ$, значит $\angle ABD = \alpha + 38^\circ$.

Угол $\angle ABD$ можно представить как сумму углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$ :
$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Подставим известные значения:$\alpha + 38^\circ = \alpha + \angle CBD$
Отсюда следует, что $\angle CBD = 38^\circ$.

Наконец, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Сумма его углов равна $180^\circ$ :
$\angle BDC + \angle CBD + \angle BCD = 180^\circ$. Мы знаем, что $\angle BDC = \alpha$, $\angle CBD = 38^\circ$, и $\angle BCD = \alpha + 38^\circ$. Подставим эти значения:
$\alpha + 38^\circ + (\alpha + 38^\circ) = 180^\circ$
$2\alpha + 76^\circ = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ - 76^\circ$
$2\alpha = 104^\circ$
$\alpha = 52^\circ$

Ответ: $52^\circ$