Номер 25.8, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.8. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника, центр окружности лежит на гипотенузе (рис. 176). Докажите, что радиус окружности можно найти по формуле $\frac{ab}{a+b}$, где $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

Рис. 176

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Обозначим его вершины как $A, B, C$, где $\angle C = 90^\circ$, катет $BC = a$ и катет $AC = b$.

По условию, окружность с центром $O$ на гипотенузе $AB$ касается катетов $AC$ и $BC$. Пусть $M$ и $N$ — точки касания с катетами $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть $r$ — радиус этой окружности.

Для доказательства воспользуемся методом площадей.

1. Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2}ab$.

2. Так как центр окружности $O$ лежит на гипотенузе $AB$, мы можем разбить треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника: $S_{ABC} = S_{AOC} + S_{BOC}$.

3. Найдем площадь треугольника $AOC$. Его основание — катет $AC = b$. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины $O$, является перпендикуляр, опущенный из $O$ на прямую $AC$. Поскольку окружность касается катета $AC$ в точке $M$, радиус $OM$ перпендикулярен касательной $AC$. Следовательно, длина этой высоты равна радиусу $r$. Площадь треугольника $AOC$ равна: $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r = \frac{1}{2}br$.

4. Аналогично, найдем площадь треугольника $BOC$. Его основание — катет $BC = a$. Высотой, проведенной к этому основанию из вершины $O$, является радиус $ON$, перпендикулярный катету $BC$. Площадь треугольника $BOC$ равна: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2}ar$.

5. Теперь приравняем площадь большого треугольника сумме площадей двух малых: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}ar$.

6. Умножим обе части уравнения на 2: $ab = br + ar$.

7. В правой части вынесем общий множитель $r$ за скобки: $ab = r(a+b)$.

8. Выразим из этого равенства радиус $r$: $r = \frac{ab}{a+b}$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, касающейся катетов прямоугольного треугольника, центр которой лежит на гипотенузе, действительно можно найти по указанной формуле.

Ответ: Что и требовалось доказать. Формула $r = \frac{ab}{a+b}$ верна.