Номер 25.5, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.5. a) Окружность касается сторон угла $\angle C = 90^\circ$. Найдите расстояние от вершины $C$ до точки касания, если расстояние от точки $C$ до центра окружности равно 12 см.

б) Окружность радиусом 8 см касается сторон угла $D$. Найдите расстояние от центра окружности до вершины $D$, если $\angle D = 90^\circ$.

а)

Пусть O — центр окружности, а M и N — точки касания окружности со сторонами угла C. Стороны угла обозначим как лучи CA и CB. По условию, угол $\angle C = 90^\circ$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OM ⊥ CA и ON ⊥ CB. Это означает, что $\angle CMO = 90^\circ$ и $\angle CNO = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник CMON. В нем три угла прямые: $\angle C = 90^\circ$, $\angle CMO = 90^\circ$, $\angle CNO = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому четвертый угол $\angle MON$ также равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, CMON — прямоугольник.

Так как OM и ON — это радиусы одной и той же окружности, то их длины равны: $OM = ON = r$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Следовательно, CMON — квадрат.

Все стороны квадрата равны, поэтому $CM = CN = OM = ON = r$. Расстояние от вершины C до точки касания — это длина отрезка CM (или CN), которая равна радиусу r.

Расстояние от точки C до центра окружности O — это длина диагонали CO квадрата CMON. По условию, $CO = 12$ см.

Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата равна r, а диагональ — CO.

Следовательно, $CO = r\sqrt{2}$.

Подставим известные значения: $12 = r\sqrt{2}$.

Найдем радиус r: $r = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от вершины C до точки касания равно CM, а $CM = r$. Значит, искомое расстояние равно $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

б)

Пусть O — центр окружности, а M и N — точки касания окружности со сторонами угла D. По условию, угол $\angle D = 90^\circ$, а радиус окружности $r = 8$ см.

Аналогично пункту а), рассмотрим четырехугольник DMON. Так как радиусы OM и ON перпендикулярны сторонам угла в точках касания M и N, то углы $\angle DMO$ и $\angle DNO$ являются прямыми.

В четырехугольнике DMON три прямых угла ($\angle D, \angle DMO, \angle DNO$), следовательно, он является прямоугольником.

Длины сторон OM и ON равны радиусу окружности, то есть $OM = ON = r = 8$ см. Так как смежные стороны прямоугольника равны, DMON является квадратом.

Сторона этого квадрата равна радиусу окружности: $DM = DN = OM = ON = 8$ см.

Мы ищем расстояние от центра окружности O до вершины D, то есть длину отрезка DO. Отрезок DO является диагональю квадрата DMON.

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата равна 8 см.

Следовательно, $DO = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.