Номер 24.1, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24.1. a) Отношение периметров двух квадратов равно $ \frac{1}{7} $, а сумма их площадей равна $200 \text{ см}^2$. Найдите стороны квадратов.

б)Отношение площадей двух квадратов равно $ \frac{1}{9} $, а сумма их периметров равна $64 \text{ см}$. Найдите стороны квадратов.

а)

Пусть стороны двух квадратов равны $a$ и $b$. Периметр первого квадрата равен $P_1 = 4a$, а его площадь $S_1 = a^2$. Периметр второго квадрата равен $P_2 = 4b$, а его площадь $S_2 = b^2$.

Согласно условию, отношение периметров равно $\frac{1}{7}$:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{4a}{4b} = \frac{a}{b} = \frac{1}{7}$

Из этого соотношения мы можем выразить сторону одного квадрата через сторону другого: $b = 7a$.

Также по условию, сумма площадей квадратов равна 200 см²:
$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 = 200$

Теперь составим и решим систему уравнений. Подставим выражение $b = 7a$ в уравнение для суммы площадей:
$a^2 + (7a)^2 = 200$
$a^2 + 49a^2 = 200$
$50a^2 = 200$
$a^2 = \frac{200}{50}$
$a^2 = 4$

Поскольку длина стороны является положительной величиной, $a = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь найдем длину стороны второго квадрата:
$b = 7a = 7 \times 2 = 14$ см.

Ответ: 2 см и 14 см.

б)

Пусть стороны двух квадратов равны $a$ и $b$. Площадь первого квадрата равна $S_1 = a^2$, а его периметр $P_1 = 4a$. Площадь второго квадрата равна $S_2 = b^2$, а его периметр $P_2 = 4b$.

Согласно условию, отношение площадей равно $\frac{1}{9}$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти отношение сторон (длины сторон положительны):
$\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Отсюда получаем: $b = 3a$.

Также по условию, сумма периметров равна 64 см:
$P_1 + P_2 = 4a + 4b = 64$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:
$a + b = 16$

Подставим выражение $b = 3a$ в полученное уравнение:
$a + 3a = 16$
$4a = 16$
$a = \frac{16}{4} = 4$ см.

Теперь найдем длину стороны второго квадрата:
$b = 3a = 3 \times 4 = 12$ см.

Ответ: 4 см и 12 см.