Номер 23.7, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.7. a) Известно, что в трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) диагонали пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OC = 4 : 3$. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $BOC$ равна 18 $см^2$.

б) Известно, что в трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) диагонали пересекаются в точке $O$ так, что $BO : OD = 3 : 5$. Найдите площадь треугольника $AOD$, если площадь трапеции равна 256 $см^2$.

а)

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$. Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам:

1. $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные углы.
2. $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников можно найти из отношения соответственных сторон. Из условия задачи $AO : OC = 4 : 3$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{DO}{BO} = \frac{4}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} $Зная, что площадь треугольника $BOC$ равна $S_{BOC} = 18 \text{ см}^2$, найдем площадь треугольника $AOD$:$ S_{AOD} = \frac{16}{9} \cdot S_{BOC} = \frac{16}{9} \cdot 18 = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2 $.

Теперь найдем площади треугольников $AOB$ и $COD$. Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:$ \frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} = \frac{4}{3} $Отсюда, $S_{AOB} = \frac{4}{3} \cdot S_{BOC} = \frac{4}{3} \cdot 18 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$.

В трапеции площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны: $S_{AOB} = S_{COD}$. Это следует из того, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$ имеют общее основание $BC$ и равные высоты (высота трапеции), поэтому их площади равны. $S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC}$ и $S_{DBC} = S_{COD} + S_{BOC}$, откуда $S_{AOB} = S_{COD}$. Значит, $S_{COD} = 24 \text{ см}^2$.

Площадь всей трапеции равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали:$ S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{COD} = 18 + 32 + 24 + 24 = 98 \text{ см}^2 $.

Ответ: $98 \text{ см}^2$.

б)

Аналогично пункту а), треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны. Коэффициент подобия $k$ (от $\triangle BOC$ к $\triangle DOA$) равен отношению соответственных сторон:$ k = \frac{BO}{OD} = \frac{3}{5} $.

Пусть площадь искомого треугольника $S_{AOD} = S$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} $Отсюда, $S_{BOC} = \frac{9}{25} S_{AOD} = \frac{9}{25} S$.

Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BD$. Отношение их площадей равно отношению оснований:$ \frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{BO}{OD} = \frac{3}{5} $Отсюда, $S_{AOB} = \frac{3}{5} S_{AOD} = \frac{3}{5} S$.

Как и в предыдущей задаче, площади треугольников при боковых сторонах равны: $S_{COD} = S_{AOB} = \frac{3}{5} S$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей четырех треугольников:$ S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD} $Подставим все площади, выраженные через $S$:$ S_{ABCD} = S + \frac{9}{25}S + \frac{3}{5}S + \frac{3}{5}S $Приведем к общему знаменателю:$ S_{ABCD} = S \left(1 + \frac{9}{25} + \frac{15}{25} + \frac{15}{25}\right) = S \left(\frac{25+9+15+15}{25}\right) = S \frac{64}{25} $.

По условию, площадь трапеции равна $256 \text{ см}^2$. Составим уравнение:$ 256 = S \frac{64}{25} $Найдем $S$:$ S = \frac{256 \cdot 25}{64} = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}^2 $.

Ответ: $100 \text{ см}^2$.