Номер 22.6, страница 109 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.6. a) Боковые стороны трапеции равны большему основанию, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении $11:25$. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 24 см.

б) Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении $17:33$. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 15 см.

а)

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем AD > BC. По условию, боковые стороны равны большему основанию. Это означает, что трапеция является равнобедренной и $AB = CD = AD$. Обозначим длину большего основания $AD = a$, а меньшего основания $BC = b$. Тогда боковые стороны также равны $a$. Высота трапеции $h = 24$ см.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$, а также $\angle OCB$ и $\angle OAD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущих BD и AC соответственно). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно: $ \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} $

По условию, диагонали делятся точкой пересечения в отношении $11 : 25$. Так как $AD > BC$, то отрезки диагоналей, прилежащие к меньшему основанию (BO и CO), короче отрезков, прилежащих к большему основанию (DO и AO). Следовательно, $ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{11}{25} $. Тогда $ \frac{b}{a} = \frac{11}{25} $, откуда $ b = \frac{11}{25}a $.

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований. $ AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a - b}{2} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $ AB^2 = AH^2 + BH^2 $. Подставим известные значения и выражения: $ a^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 $

Теперь подставим выражение для $b$ и значение $h$: $ a^2 = \left(\frac{a - \frac{11}{25}a}{2}\right)^2 + 24^2 $ $ a^2 = \left(\frac{\frac{25a - 11a}{25}}{2}\right)^2 + 576 $ $ a^2 = \left(\frac{\frac{14a}{25}}{2}\right)^2 + 576 $ $ a^2 = \left(\frac{7a}{25}\right)^2 + 576 $ $ a^2 = \frac{49a^2}{625} + 576 $ $ a^2 - \frac{49a^2}{625} = 576 $ $ \frac{625a^2 - 49a^2}{625} = 576 $ $ \frac{576a^2}{625} = 576 $ $ a^2 = 625 $ $ a = 25 $ см (длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем длину меньшего основания: $ b = \frac{11}{25}a = \frac{11}{25} \cdot 25 = 11 $ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $. $ S = \frac{25+11}{2} \cdot 24 = \frac{36}{2} \cdot 24 = 18 \cdot 24 = 432 $ см$^2$.

Ответ: 432 см$^2$.

б)

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем AD > BC. По условию, боковые стороны равны меньшему основанию. Это означает, что трапеция является равнобедренной и $AB = CD = BC$. Обозначим длину большего основания $AD = a$, а меньшего основания $BC = b$. Тогда боковые стороны также равны $b$. Высота трапеции $h = 15$ см.

Аналогично пункту а), треугольники $BOC$ и $DOA$, образованные пересечением диагоналей, подобны. Из подобия следует: $ \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} $.

По условию, диагонали делятся точкой пересечения в отношении $17 : 33$. Так как $AD > BC$, то отношение отрезков, прилежащих к меньшему основанию, к отрезкам, прилежащим к большему, будет $17:33$. $ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{17}{33} $. Тогда $ \frac{b}{a} = \frac{17}{33} $, откуда $ a = \frac{33}{17}b $.

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции отрезок AH равен полуразности оснований: $ AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a - b}{2} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $ AB^2 = AH^2 + BH^2 $. Подставим известные значения и выражения ($AB=b$): $ b^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 $

Теперь подставим выражение для $a$ и значение $h$: $ b^2 = \left(\frac{\frac{33}{17}b - b}{2}\right)^2 + 15^2 $ $ b^2 = \left(\frac{\frac{33b - 17b}{17}}{2}\right)^2 + 225 $ $ b^2 = \left(\frac{\frac{16b}{17}}{2}\right)^2 + 225 $ $ b^2 = \left(\frac{8b}{17}\right)^2 + 225 $ $ b^2 = \frac{64b^2}{289} + 225 $ $ b^2 - \frac{64b^2}{289} = 225 $ $ \frac{289b^2 - 64b^2}{289} = 225 $ $ \frac{225b^2}{289} = 225 $ $ b^2 = 289 $ $ b = 17 $ см.

Теперь найдем длину большего основания: $ a = \frac{33}{17}b = \frac{33}{17} \cdot 17 = 33 $ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $. $ S = \frac{33+17}{2} \cdot 15 = \frac{50}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375 $ см$^2$.

Ответ: 375 см$^2$.