Номер 22.3, страница 108 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.3. a) $BK$ — биссектриса треугольника $ABC$, его стороны $AB$ и $BC$ равны 5 см и 7 см соответственно, площадь треугольника $BKC$ равна $\sqrt{6}$ см$^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

б) $AN$ — биссектриса треугольника $ABC$, его стороны $AB$ и $AC$ равны 7 см и 9 см соответственно, площадь треугольника $ABN$ равна $3\sqrt{5}$ см$^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

а)

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Биссектриса делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $ABK$ и $BKC$.
Существует свойство, согласно которому биссектриса делит треугольник на два меньших треугольника, площади которых относятся так же, как и прилежащие к биссектрисе стороны. Это свойство следует из того, что у треугольников $ABK$ и $BKC$ общая высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, а их основания $AK$ и $KC$ по свойству биссектрисы относятся как $AB$ к $BC$.
Таким образом, имеем соотношение:
$\frac{S_{ABK}}{S_{BKC}} = \frac{AB}{BC}$
Подставим известные значения: $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $S_{BKC} = \sqrt{6}$ см².
$\frac{S_{ABK}}{\sqrt{6}} = \frac{5}{7}$
Отсюда находим площадь треугольника $ABK$:
$S_{ABK} = \frac{5}{7} \cdot \sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{7}$ см².
Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABK$ и $BKC$:
$S_{ABC} = S_{ABK} + S_{BKC} = \frac{5\sqrt{6}}{7} + \sqrt{6} = \sqrt{6} \left( \frac{5}{7} + 1 \right) = \sqrt{6} \left( \frac{5+7}{7} \right) = \frac{12\sqrt{6}}{7}$ см².
Ответ: $\frac{12\sqrt{6}}{7}$ см².

б)

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AN$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $ABN$ и $ACN$.
Аналогично пункту а), воспользуемся свойством отношения площадей треугольников, образованных биссектрисой:
$\frac{S_{ABN}}{S_{ACN}} = \frac{AB}{AC}$
Подставим известные значения: $AB = 7$ см, $AC = 9$ см, $S_{ABN} = 3\sqrt{5}$ см².
$\frac{3\sqrt{5}}{S_{ACN}} = \frac{7}{9}$
Отсюда находим площадь треугольника $ACN$:
$S_{ACN} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{5}}{7} = \frac{27\sqrt{5}}{7}$ см².
Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABN$ и $ACN$:
$S_{ABC} = S_{ABN} + S_{ACN} = 3\sqrt{5} + \frac{27\sqrt{5}}{7} = \sqrt{5} \left( 3 + \frac{27}{7} \right) = \sqrt{5} \left( \frac{21+27}{7} \right) = \frac{48\sqrt{5}}{7}$ см².
Ответ: $\frac{48\sqrt{5}}{7}$ см².